2003-河南卷-11 单-反射问题求斜率范围

本题导读

本题考查光的反射问题与直线斜率，以及反射的对称展开。

📌【题干】

Question

（2003年河南卷） 已知长方形的四个顶点 $A(0,0)$，$B(2,0)$，$C(2,1)$ 和 $D(0,1)$.一质点从 $AB$ 的中点 $P_0$ 沿与 $AB$ 夹角为 $\theta$ 的方向射到 $BC$ 上的点 $P_1$ 后，依次反射到 $CD$、$DA$ 和 $AB$ 上的点 $P_2$、$P_3$ 和 $P_4$（入射角等于反射角）．设 $P_4$ 的坐标为 $(x_4,0)$，若 $1<x_4<2$，则 $\tan \theta$ 的取值范围是()

A. $\left(\frac{1}{3},1\right)$　　　　B. $\left(\frac{1}{3},\frac{2}{3}\right)$　　　　C. $\left(\frac{2}{5},\frac{1}{2}\right)$　　　　D. $\left(\frac{2}{5},\frac{2}{3}\right)$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 设 $\tan \theta =k$，展开长方形使反射轨迹成直线 $Y=k(X-1)$。
2. 逐段求反射点，得 $x_4=\frac{2}{k}-3$，由 $1<x_4<2$ 解范围。

✅【答案】

Success

C

✍【详细解析】

Abstract

令 $k=\tan \theta$，把反射轨迹展开为直线 $Y=k(X-1)$（初点 $(1,0)$）．依次到达 $BC$（$X=2$，$Y=k$）、$CD$（$Y=1$，$X=1+\frac{1}{k}$）、$DA$（$X=4$，$Y=3k$）、$AB$（$Y=2$，$X=1+\frac{2}{k}$）．第四次碰到 $AB$ 时实际横坐标 $x_4=X-4=\frac{2}{k}-3$.由 $1<x_4<2$ 得 $1<\frac{2}{k}-3<2$，即 $4<\frac{2}{k}<5$，故 $\frac{2}{5}<k<\frac{1}{2}$，选 C

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：反射问题求斜率范围
2. 核心方法：设 $\tan \theta =k$ 逐段反射得 $x_4=\frac{2}{k}-3$，由 $1<x_4<2$ 得 $\frac{2}{5}<k<\frac{1}{2}$
3. 避坑指南：展开法化反射为直线；$x_4=\frac{2}{k}-3$ 单调递减

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 源于物理光学反射情境
2. 结论推广: 一般地，逐段反射可展开为直线穿过多重矩形；展开法化反射为直线，列不等式解范围

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 16.01 直线的倾斜角与斜率
• 16.02 直线方程的形式与直线系

类题演练 (Links)

• 2003-大纲文-11 单-反射问题求斜率
• 2003-天津文-11 单-反射问题求斜率
• 2012-大纲卷文-12 单-反射展开计数