2003-江苏卷-18 解-正弦型函数的奇偶性

本题导读

本题主要考查三角函数 $y=\sin (\omega x+\phi )$ 的图象与性质。解题的关键在于通过“偶函数”性质确定初相 $\phi$，利用“对称中心”性质建立关于 $\omega$ 的方程，最后结合指定区间上的“单调性”对 $\omega$ 的取值进行范围限制，从而确定唯一解。

📌【题干】

Question

（2003年江苏卷） 已知函数 $f(x)=\sin (\omega x+\phi )$ ($\omega >0$，$0\le \phi \le \pi$) 是 $\mathbf{R}$ 上的偶函数，其图象关于点 $M\left(\frac{3\pi }{4},0\right)$ 对称，且在区间 $\left[0,\frac{\pi }{2}\right]$ 上是单调函数. 求 $\omega$ 和 $\phi$ 的值.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 利用奇偶性求 $\phi$：由于 $f(x)$ 是偶函数，其图象关于 $y$ 轴对称，故 $x=0$ 处必须取得最值，即 $f(0)=\pm 1$，由此可推出 $\phi =k\pi +\frac{\pi }{2}$ ($k\in \mathbf{Z}$)。再结合 $\phi$ 的已知范围锁定其值。

2. 利用对称中心求 $\omega$：点 $M\left(\frac{3\pi }{4},0\right)$ 是函数的对称中心，则该点处的函数值必须为 $0$，即 $f\left(\frac{3\pi }{4}\right)=0$。代入已求得的 $\phi$ 可列出关于 $\omega$ 的代数式。

3. 利用单调区间卡死参数：已知函数在 $\left[0,\frac{\pi }{2}\right]$ 上是单调函数，说明该区间的长度不能超过半个周期，即 $\frac{\pi }{2}\le \frac{T}{2}=\frac{\pi }{\omega }⟹\omega \le 2$。同时区间内部不能包含任何最值点。结合此约束条件在第2步得到的 $\omega$ 序列中筛选出符合题意的唯一值。

✅【答案】

Success

$\phi =\frac{\pi }{2}$，$\omega =\frac{2}{3}$ 或 $\omega =2$

✍【详细解析】

Abstract

第一步：求 $\phi$ 的值 因为函数 $f(x)=\sin (\omega x+\phi )$ 是 $\mathbf{R}$ 上的偶函数，所以其图象关于 $y$ 轴对称。 因此，当 $x=0$ 时，函数取得极大值或极小值，即： $\sin \phi =\pm 1⟹\phi =k\pi +\frac{\pi }{2}(k\in \mathbf{Z})$

因为已知 $0\le \phi \le \pi$，令 $k=0$ 可得： $\phi =\frac{\pi }{2}$ 此时，函数解析式可化简为： $f(x)=\sin \left(\omega x+\frac{\pi }{2}\right)=\cos \omega x$

第二步：利用对称中心求 $\omega$ 的表达式 因为函数 $f(x)$ 的图象关于点 $M\left(\frac{3\pi }{4},0\right)$ 对称，所以该点为函数的对称中心，即： $f\left(\frac{3\pi }{4}\right)=0⟹\cos \left(\omega \cdot \frac{3\pi }{4}\right)=0$

根据余弦函数零点公式，有： $\frac{3\pi }{4}\omega =m\pi +\frac{\pi }{2}(m\in \mathbf{Z})$

两边同除以 $\frac{3\pi }{4}$，解得： $\omega =\frac{4}{3}m+\frac{2}{3}=\frac{4m+2}{3}(m\in \mathbf{Z})$ 由于已知 $\omega >0$，所以 $4m+2>0⟹m\ge 0$，即 $m\in \mathbf{N}$。

第三步：利用区间单调性确定 $\omega$ 的值 因为 $f(x)=\cos \omega x$ 在区间 $\left[0,\frac{\pi }{2}\right]$ 上是单调函数，根据余弦函数单调性，从 $x=0$（最值点）出发的第一个单调区间长度最大为半个周期 $\frac{T}{2}$。 因此必须满足： $\frac{\pi }{2}\le \frac{T}{2}⟹\frac{\pi }{2}\le \frac{\pi }{\omega }⟹\omega \le 2$

同时，当 $x\in \left[0,\frac{\pi }{2}\right]$ 时，相角变化范围为 $\omega x\in \left[0,\frac{\pi }{2}\omega \right]$。 要保证在该区间内单调，其相角范围不能包含除了起点 $0$ 以外的其它最值点（即 $\pi$ 的整数倍位置）。 即满足： $\frac{\pi }{2}\omega \le \pi ⟹\omega \le 2$

结合 $\omega >0$，可得 $\omega$ 的取值范围为： $0<\omega \le 2$

将第二步求得的通项式 $\omega =\frac{4m+2}{3}$ 代入该范围： $0<\frac{4m+2}{3}\le 2⟹0<4m+2\le 6⟹-2<4m\le 4⟹-\frac{1}{2}<m\le 1$

由于 $m\in \mathbf{Z}$，故 $m$ 的可能取值为 $0$ 或 $1$：

• 当 $m=0$ 时， $\omega =\frac{2}{3}$；
• 当 $m=1$ 时， $\omega =\frac{4\times 1+2}{3}=2$。

第四步：检验单调性排除不合题意的解

• 当 $\omega =\frac{2}{3}$ 时， $f(x)=\cos \frac{2}{3}x$。当 $x\in \left[0,\frac{\pi }{2}\right]$ 时， $\frac{2}{3}x\in \left[0,\frac{\pi }{3}\right]\subseteq [0,\pi ]$，函数在此区间内单调递减，符合题意。
• 当 $\omega =2$ 时， $f(x)=\cos 2x$。当 $x\in \left[0,\frac{\pi }{2}\right]$ 时， $2x\in [0,\pi ]$，函数在此区间内单调递减，也符合题意。

综上所述，满足题意的参数值为： $\omega =\frac{2}{3}$， $\phi =\frac{\pi }{2}$ 或 $\omega =2$， $\phi =\frac{\pi }{2}$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：三角函数奇偶性的边界条件（偶函数初相必使 $x=0$ 处于波峰或波谷），对称中心与零点的等价性，单调区间与周期长度的控制关系。
2. 核心方法：整体相角控制法。将自变量 $x$ 的区间通过乘系数、加初相转换为整体相角范围，对照标准 $\sin u$ 或 $\cos u$ 的图象范围进行卡位。
3. 避坑指南：

   • 极易漏掉 $\omega =2$ 或 $\omega =\frac{2}{3}$ 中的其中一个。主要原因在于在列单调区间限制时，误将 $\omega \le 2$ 错写成了严格小于号，或者未对 $m$ 进行分情况穷举。

   • 确定偶函数初相时，注意正负号。 $\sin \phi =\pm 1$ 对应的 $\phi$ 在 $[0,\pi ]$ 间只有 $\frac{\pi }{2}$ 这一种情况。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 本题属于三角函数大板块中的中档压轴解答题，直接考查教材中对正弦、余弦函数五点作图法中“零点”、“最值点”以及“单调边界”三大几何要素的代数逆向求解。
2. 结论推广: 对于任意函数 $f(x)=\sin (\omega x+\phi )$ ($\omega >0$)，若其为偶函数，则可直接化简为 $f(x)=\pm \cos \omega x$。若已知其关于点 $(x_0,0)$ 对称，则 $\omega x_0=\frac{k\pi }{2}$。若进一步限定其在宽为 $\Delta x$ 的区间内单调，则必有 $\omega \le \frac{\pi }{\Delta x}$。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 05.02 函数的四大性质

类题演练 (Links)

• 1987-全国文-06 单-函数的单调性判断
• 1987-广东文-09 单-函数的单调性
• 1987-广东文-24 单-函数的奇偶性