2003-江苏卷-06 单-反函数的概念与求法

本题导读

本题主要考查反函数的求解方法。解题的核心在于两步：一是将原解析式中的自变量 $x$ 严格反解出来，并进行自变量与因变量的符号互换；二是求出原函数的值域，以此作为反函数的定义域来锁定正确选项。

📌【题干】

Question

（2003年江苏卷） 函数 $y=\ln \frac{x+1}{x-1}$，$x\in (1,+\infty )$ 的反函数为()

A. $y=\frac{{\text{e}}^x-1}{{\text{e}}^x+1}$，$x\in (0,+\infty )$　B. $y=\frac{{\text{e}}^x+1}{{\text{e}}^x-1}$，$x\in (0,+\infty )$

C. $y=\frac{{\text{e}}^x-1}{{\text{e}}^x+1}$，$x\in (-\infty ,0)$　D. $y=\frac{{\text{e}}^x+1}{{\text{e}}^x-1}$，$x\in (-\infty ,0)$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 求原函数值域（确定反函数定义域）：反函数的定义域等价于原函数的值域。已知原函数定义域为 $x>1$，可通过分离常数法分析分式 $\frac{x+1}{x-1}$ 的取值范围，进而确定对数函数 $y$ 的范围。

2. 反解自变量 $x$：利用对数与指数的互化性质，将 $y=\ln \frac{x+1}{x-1}$ 化为 ${\text{e}}^y=\frac{x+1}{x-1}$，再通过交叉相乘和因式分解，将 $x$ 独立表达为关于 $y$ 的函数。

3. 符号互换输出：将解出的表达式中的 $x$ 与 $y$ 位置互换，结合第一步求得的定义域锁定最终选项。

✅【答案】

Success

B

✍【详细解析】

Abstract

第一步：求原函数的值域 已知原函数的定义域为 $x\in (1,+\infty )$。 对真数部分的分式进行分离常数化简： $\frac{x+1}{x-1}=\frac{(x-1)+2}{x-1}=1+\frac{2}{x-1}$

因为 $x>1$，所以 $x-1>0$，则： $\frac{2}{x-1}>0⟹1+\frac{2}{x-1}>1$ 即真数部分 $\frac{x+1}{x-1}\in (1,+\infty )$。

由于底数为 $\text{e}>1$ 的自然对数函数 $y=\ln u$ 在 $(1,+\infty )$ 上单调递增： 当 $u>1$ 时， $y=\ln u>\ln 1=0$。 所以原函数的值域为 $y\in (0,+\infty )$。 根据反函数性质，反函数的定义域为 $x\in (0,+\infty )$，据此可直接排除 C 和 D 选项。

第二步：反解自变量 $x$ 由 $y=\ln \frac{x+1}{x-1}$，利用对数定义式转换为自然指数形式： ${\text{e}}^y=\frac{x+1}{x-1}$

两边同时乘以 $(x-1)$ 去分母： ${\text{e}}^y(x-1)=x+1⟹x{\text{e}}^y-{\text{e}}^y=x+1$

将含 $x$ 的项移到等式左边，常数项移到右边： $x{\text{e}}^y-x={\text{e}}^y+1$

提公因式 $x$： $x({\text{e}}^y-1)={\text{e}}^y+1$

因为 $y>0$， ${\text{e}}^y>1$，所以 ${\text{e}}^y-1\ne 0$，两边同除以 $({\text{e}}^y-1)$： $x=\frac{{\text{e}}^y+1}{{\text{e}}^y-1}$

第三步：互换变量符号 将 $x$ 与 $y$ 互换，得到反函数的解析式为： $y=\frac{{\text{e}}^x+1}{{\text{e}}^x-1}$ 其定义域为 $x\in (0,+\infty )$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：反函数的代数反解规律，对数与指数函数的互逆映射，分式函数值域的界定。
2. 核心方法：定义域先行法。处理反函数问题时，优先算出原函数的值域来卡死反函数的定义域，往往能直接排除半数干扰项。
3. 避坑指南：

   • 在第一步分析真数范围时，若错把 $x>1$ 代入直接口算，容易误认为分式可以趋近于 $0$，导致算出错误的值域。

   • 在第二步移项时，注意负号的变号法则，防止分子分母符号颠倒导致误选 A。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 本题属于基础代数函数变换题，源于教材中关于对数函数与指数函数互为反函数这一核心理论的综合计算演练。
2. 结论推广: 对于形如 $y=\ln \frac{x+\alpha }{x-\alpha }$ ($x>\alpha >0$) 的函数：
   • 其真数变形为 $1+\frac{2\alpha }{x-\alpha }>1$，故值域恒为 $(0,+\infty )$；
   • 采用相同的解法反解可得其反函数通式为 $y=\alpha \cdot \frac{{\text{e}}^x+1}{{\text{e}}^x-1}$，定义域恒为 $x\in (0,+\infty )$。本题即为 $\alpha =1$ 时的特例。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 05.01 函数的概念

类题演练 (Links)

• 1987-广东文-30 填-函数的值域
• 1987-全国文-06 单-函数的单调性判断
• 1987-广东文-09 单-函数的单调性