2003-江苏卷-01 单-二次函数的图象与性质

本题导读

本题主要考查二次函数与 $x$ 轴交点问题向一元二次方程根的判别式的转化，以及二次不等式在平面直角坐标系中的区域表示。解题的关键在于由“有两个交点”推导出 $a\ne 0$ 且 $\Delta >0$，再将代数不等式转化为几何阴影区域。

📌【题干】

Question

（2003年江苏卷） 如果函数 $y=a{x}^2+bx+a$ 的图象与 $x$ 轴有两个交点，则点 $(a,b)$ 在 $aOb$ 平面上的区域（不包含边界）为()

🔍【思路分析】

破题导航

1. 识别函数类型：题目明确说明是函数 $y=a{x}^2+bx+a$ 的图象与 $x$ 轴有两个交点，隐含该函数必须为二次函数，即最高次项系数满足 $a\ne 0$。

2. 利用判别式建立不等式：二次函数图象与 $x$ 轴有两个不同的交点，等价于对应的一元二次方程 $a{x}^2+bx+a=0$ 有两个不相等的实数根，因此其判别式满足 $\Delta >0$。

3. 因式分解化简：将 $\Delta =b^2-4a^2>0$ 进行因式分解，化为两个线性二元一次不等式乘积的形式。

4. 判定几何区域：利用“同号得正，异号得负”的原则，在 $aOb$ 平面上画出不等式对应的直线边界，并通过测试点法锁定阴影区域。

✅【答案】

Success

C

✍【详细解析】

Abstract

根据题意，函数 $y=a{x}^2+bx+a$ 的图象与 $x$ 轴有两个交点，可知该函数为二次函数且对应方程有两个不等的实根。 因此必须满足： $\{\begin{array}{l}a\ne 0\\ \Delta =b^2-4a^2>0\end{array}$

对判别式不等式进行平方差因式分解： $(b-2a)(b+2a)>0$

根据实数乘法法则，该不等式等价于以下两个不等式组： $\{\begin{array}{l}b-2a>0\\ b+2a>0\end{array}\text{或}\{\begin{array}{l}b-2a<0\\ b+2a<0\end{array}$

也就是说： $\{\begin{array}{l}b>2a\\ b>-2a\end{array}\text{或}\{\begin{array}{l}b<2a\\ b<-2a\end{array}$

在 $aOb$ 平面中：

• 直线 $b=2a$ 和 $b=-2a$ 为区域边界，因为是不等号，所以边界为虚线。
• 当 $b>2a$ 且 $b>-2a$ 时，点位于两条直线的上方区域，即包含 $b$ 轴正半轴的V字形区域。
• 当 $b<2a$ 且 $b<-2a$ 时，点位于两条直线的下方区域，即包含 $b$ 轴负半轴的倒V字形区域。
• 同时由 $a\ne 0$ 可知，区域不包含 $b$ 轴（即 $a=0$ 处），但两条直线交点为原点，图象区域本来就不含边界，故不影响阴影形状。

综上所述，阴影区域由上下两个对顶的V字形区域组成。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：二次函数的定义约束 $a\ne 0$，方程根的判别式 $\Delta =b^2-4ac$，二元二次不等式 $b^2-4a^2>0$ 划分的平面区域。
2. 核心方法：因式分解降维法。将复杂的二次曲线边界不等式化简为两条直线的线性组合。
3. 避坑指南：

   • 极易忽略二次函数最高次项系数 $a\ne 0$ 的隐含前提。若 $a=0$，函数退化为一次函数 $y=bx$，图象与 $x$ 轴只有一个交点（当 $b\ne 0$ 时）或无数个交点（当 $b=0$ 时），不符合题意。

   • 在选择图象时，注意区分 $b^2-4a^2>0$ 与 $4a^2-b^2>0$ 的区域。前者包含 $b$ 轴（上下对顶），后者包含 $a$ 轴（左右对顶，即选项 D）。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 本题属于二次函数与二元一次不等式组的经典交汇题，主要考查高一数学中关于判别式几何应用以及解析几何中平面区域划分的直观理解。
2. 结论推广: 对于任意二次函数 $y=a{x}^2+bx+c$：
   • 若其图象与 $x$ 轴有两个交点，在以 $a,b,c$ 构成的参数空间中，必然满足 $\Delta =b^2-4ac>0$；
   • 当限定 $c=\alpha a$ 时，不等式变为 $b^2-4\alpha a^2>0$。在 $aOb$ 平面上，其可行域边界恒为两条过原点的直线 $b=\pm 2\sqrt{\alpha }a$（前提为 $\alpha >0$），阴影区域始终呈现为关于 $b$ 轴对称的上下对顶双扇形结构。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 03.01 不等式解法体系

类题演练 (Links)

• 2006-浙江文-09 单-线性规划区域面积
• 2008-湖北文-05 单-不等式组平面区域
• 1954-全国-02 解-二次函数图象定范围