2003-广东卷-22 解-数列的递推关系

本题导读

本题考查数列递推关系求通项、数学归纳法的证明，以及由单调性条件确定参数取值范围。核心在于用数学归纳法验证通项公式，再将单调性转化为含参数的不等式，通过奇偶分类讨论求参数范围。

📌【题干】

Question

（2003年广东卷） 设 $a_0$ 为常数，且 $a_n=3^{n-1}-2a_{n-1}$ ($n\in {\mathbf{N}}^{\ast }$).

(1) 证明对任意 $n\ge 1$，$a_n=\frac{1}{5}[3^n+(-1{)}^{n-1}\cdot 2^n]+(-1{)}^n\cdot 2^n{a}_0$；

(2) 假设对任意 $n\ge 1$ 有 $a_n>a_{n-1}$，求 $a_0$ 的取值范围.

🔍【思路分析】

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1. 第一问分析：通项公式中包含 $(-1{)}^n$ 且由递推式给出，适合采用数学归纳法进行证明。首先验证 $n=1$ 时成立，然后假设 $n=k$ 时成立，利用递推关系 $a_{k+1}=3^k-2a_k$ 证明 $n=k+1$ 时也成立。

2. 第二问分析：已知 $a_n>a_{n-1}$ 恒成立，将递推式 $a_n=3^{n-1}-2a_{n-1}$ 代入，消除 $a_n$，转化为 $3^{n-1}-3a_{n-1}>0$，即 $a_{n-1}<3^{n-2}$ 对任意 $n\ge 1$ 恒成立。通过标号平移，等价于 $a_n<3^{n-1}$ 对任意 $n\ge 0$ 恒成立。

3. 分离参数求解：将第一问求出的 $a_n$ 表达式代入不等式 $a_n<3^{n-1}$，将常数 $a_0$ 分离出来，构建关于 $n$ 的不等式组，通过求最值确定 $a_0$ 的取值范围。

✅【答案】

Success

(1) 证明见解析

(2) $a_0$ 的取值范围为 $0<a_0<\frac{1}{3}$

✍【详细解析】

Abstract

(1) 证明：对任意 $n\ge 1$，$a_n=\frac{1}{5}[3^n+(-1{)}^{n-1}\cdot 2^n]+(-1{)}^n\cdot 2^n{a}_0$

采用数学归纳法进行证明：

1. 当 $n=1$ 时： 由递推公式得：$a_1=3^0-2a_0=1-2a_0$。 代入公式右边： $\frac{1}{5}[3^1+(-1{)}^0\cdot 2^1]+(-1{)}^1\cdot 2^1{a}_0=\frac{1}{5}[3+2]-2a_0=1-2a_0$ 左边等于右边，因此 $n=1$ 时公式成立。

2. 假设当 $n=k$ ($k\ge 1,k\in {\mathbf{N}}^{\ast }$) 时公式成立，即： $a_k=\frac{1}{5}[3^k+(-1{)}^{k-1}\cdot 2^k]+(-1{)}^k\cdot 2^k{a}_0$

   当 $n=k+1$ 时： 根据递推关系 $a_{k+1}=3^k-2a_k$，将假设代入： $a_{k+1}=3^k-2\cdot \left\{\frac{1}{5}[3^k+(-1{)}^{k-1}\cdot 2^k]+(-1{)}^k\cdot 2^k{a}_0\right\}$ $a_{k+1}=3^k-\frac{2}{5}\cdot 3^k-\frac{2}{5}\cdot (-1{)}^{k-1}\cdot 2^k-2\cdot (-1{)}^k\cdot 2^k{a}_0$ $a_{k+1}=\left(1-\frac{2}{5}\right)\cdot 3^k+\frac{1}{5}\cdot (-1)\cdot 2\cdot (-1{)}^{k-1}\cdot 2^k+(-1)\cdot 2\cdot (-1{)}^k\cdot 2^k{a}_0$ $a_{k+1}=\frac{3}{5}\cdot 3^k+\frac{1}{5}\cdot (-1{)}^k\cdot 2^{k+1}+(-1{)}^{k+1}\cdot 2^{k+1}{a}_0$ $a_{k+1}=\frac{1}{5}\cdot 3^{k+1}+\frac{1}{5}\cdot (-1{)}^k\cdot 2^{k+1}+(-1{)}^{k+1}\cdot 2^{k+1}{a}_0$ $a_{k+1}=\frac{1}{5}[3^{k+1}+(-1{)}^k\cdot 2^{k+1}]+(-1{)}^{k+1}\cdot 2^{k+1}{a}_0$ 由此可知，当 $n=k+1$ 时公式也成立。

综合 1、2，对任意 $n\ge 1$，原通项公式成立。

(2) 求解 $a_0$ 的取值范围

由已知，对任意 $n\ge 1$ 恒有 $a_n>a_{n-1}$。 将 $a_n=3^{n-1}-2a_{n-1}$ 代入该不等式： $3^{n-1}-2a_{n-1}>a_{n-1}⟹3a_{n-1}<3^{n-1}⟹a_{n-1}<3^{n-2}$

该不等式对任意 $n\ge 1$ 恒成立，令 $m=n-1$，则 $m\ge 0$，等价于： $a_m<3^{m-1}(\text{对任意 }m\ge 0,m\in \mathbf{N}\text{ 恒成立})$

1. 当 $m=0$ 时： $a_0<3^{-1}⟹a_0<\frac{1}{3}$

2. 当 $m\ge 1$ 时： 将第 (1) 问的通项公式代入 $a_m<3^{m-1}$： $\frac{1}{5}[3^m+(-1{)}^{m-1}\cdot 2^m]+(-1{)}^m\cdot 2^m{a}_0<3^{m-1}$

   由于需分离出 $a_0$，两边同乘以 $(-1{)}^m$：

   • 当 $m$ 为奇数时，$(-1{)}^m=-1$，两边同乘以 $-1$ 需改变不等号方向： $\frac{1}{5}[-3^m-2^m]+2^m{a}_0>-3^{m-1}$ $2^m{a}_0>\frac{1}{5}\cdot 3^m+\frac{1}{5}\cdot 2^m-3^{m-1}$ $2^m{a}_0>\left(\frac{3}{5}-1\right)\cdot 3^{m-1}+\frac{1}{5}\cdot 2^m⟹2^m{a}_0>-\frac{2}{5}\cdot 3^{m-1}+\frac{1}{5}\cdot 2^m$ 两边同除以 $2^m$： $a_0>-\frac{2}{5}\cdot {\left(\frac{3}{2}\right)}^{m-1}\cdot \frac{1}{2}+\frac{1}{5}⟹a_0>-\frac{1}{5}\cdot {\left(\frac{3}{2}\right)}^{m-1}+\frac{1}{5}$ 因为 $m$ 为奇数，当 $m=1$ 时，右侧取得最大值 $-\frac{1}{5}\cdot 1+\frac{1}{5}=0$。 故由奇数项约束得：$a_0>0$。

   • 当 $m$ 为偶数时，$(-1{)}^m=1$，保持不等号方向： $\frac{1}{5}[3^m-2^m]+2^m{a}_0<3^{m-1}$ $2^m{a}_0<3^{m-1}-\frac{1}{5}\cdot 3^m+\frac{1}{5}\cdot 2^m$ $2^m{a}_0<\left(1-\frac{3}{5}\right)\cdot 3^{m-1}+\frac{1}{5}\cdot 2^m⟹2^m{a}_0<\frac{2}{5}\cdot 3^{m-1}+\frac{1}{5}\cdot 2^m$ 两边同除以 $2^m$： $a_0<\frac{2}{5}\cdot {\left(\frac{3}{2}\right)}^{m-1}\cdot \frac{1}{2}+\frac{1}{5}⟹a_0<\frac{1}{5}\cdot {\left(\frac{3}{2}\right)}^{m-1}+\frac{1}{5}$ 因为 $m$ 为偶数，当 $m=2$ 时，右侧取得最小值 $\frac{1}{5}\cdot \frac{3}{2}+\frac{1}{5}=\frac{1}{2}$。 由于前面已有 $m=0$ 时的约束 $a_0<\frac{1}{3}$，且 $\frac{1}{3}<\frac{1}{2}$，故由偶数项及 $m=0$ 综合约束得：$a_0<\frac{1}{3}$。

综合奇数项与偶数项的范围约束，取交集得到 $a_0$ 的取值范围是： $0<a_0<\frac{1}{3}$

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：数学归纳法的规范步骤（奠基、递推、结论），数列恒成立问题的变形，参变量分离法的最值讨论。
2. 核心方法：奇偶分类讨论法。由于通项中带有 $(-1{)}^m$ 干扰项，导致在分离参数变号时符号发生交替变换，必须分为奇数项和偶数项两个独立轨道求最值边界。
3. 避坑指南：
   • 第二问极易漏掉 $m=0$（即 $n=1$ 的前置项）的边界情况。若不考虑 $a_0<\frac{1}{3}$，单凭偶数项大标号容易误得出 $a_0<\frac{1}{2}$ 的错误上界。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 本题源于数列中「含负号交替项的递推式」模型，第 (1) 问的通项结构也可用特征方程法直接求得，再用归纳法严谨证明；第 (2) 问是数列与不等式恒成立的交汇题型。

2. 结论推广: 一般地，对递推式 $a_n=p{a}_{n-1}+q^n$（$p\ne 1$），可设 $a_n+\lambda q^n=p(a_{n-1}+\lambda q^{n-1})$ 求通项；当通项含 $(-1{)}^n$ 型因子且需对任意 $n$ 恒成立时，常需按奇偶分类分别求最值。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 19.03 数列通项公式求法全攻略

类题演练 (Links)

• 1986-广东理-38 解-数列与数学归纳法
• 1987-全国文-12 填-数列的极限
• 1987-全国文-20 解-数列的通项与极限