2003-广东卷-14 填-二项式定理

本题导读

本题主要考查二项式定理的应用。解题的关键在于熟练写出二项展开式的通项公式 $T_{r+1}$，通过对自变量 $x$ 的指数进行合并整理，令其等于目标指数 $9$ 列出方程，从而确定项数 $r$，最终计算出该项的系数。

📌【题干】

Question

（2003年广东卷） ${\left(x^2-\frac{1}{2x}\right)}^9$ 的展开式中 $x^9$ 的系数是$\underline{}$.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 写出通项公式：利用二项展开式通项公式 $T_{r+1}=C_n^r{a}^{n-r}{b}^r$，将 $n=9,a=x^2,b=-\frac{1}{2x}$ 代入。

2. 分离系数与字母：将通项公式中的常数系数与自变量 $x$ 的指数部分分离开，并合并 $x$ 的底数。

3. 建立指数方程：令合并后 $x$ 的指数等于 $9$，解出组合数计数器 $r$ 的值。

4. 求得系数数值：将解出的 $r$ 代入常数项部分，计算出最终的系数。

✅【答案】

Success

$-\frac{21}{2}$

✍【详细解析】

Abstract

根据二项式定理，二项式 ${\left(x^2-\frac{1}{2x}\right)}^9$ 展开式的通项公式为： $T_{r+1}=C_9^r\cdot (x^2{)}^{9-r}\cdot {\left(-\frac{1}{2x}\right)}^r$

其中 $r\in \mathbf{N}$ 且 $0\le r\le 9$。对通项公式进行代数整理，将系数与自变量 $x$ 分离： $T_{r+1}=C_9^r\cdot x^{18-2r}\cdot {\left(-\frac{1}{2}\right)}^r\cdot x^{-r}$ $T_{r+1}=C_9^r\cdot {\left(-\frac{1}{2}\right)}^r\cdot x^{18-3r}$

目标是寻找展开式中包含 $x^9$ 的项，因此令 $x$ 的指数等于 $9$： $18-3r=9$ $3r=9⟹r=3$

将 $r=3$ 代入通项公式的系数部分，得到 $x^9$ 的系数为： $\text{系数}=C_9^3\cdot {\left(-\frac{1}{2}\right)}^3$

计算组合数 $C_9^3$ 及幂次： $C_9^3=\frac{9\times 8\times 7}{3\times 2\times 1}=84$ ${\left(-\frac{1}{2}\right)}^3=-\frac{1}{8}$

两式相乘： $\text{系数}=84\times \left(-\frac{1}{8}\right)=-\frac{84}{8}=-\frac{21}{2}$

答案：$-\frac{21}{2}$

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：二项式展开式的通项公式 $T_{r+1}=C_n^r{a}^{n-r}{b}^r$，幂的运算性质。
2. 核心方法：待定指数法（通项求特定项系数）。通过通项公式结构，用未知数 $r$ 锁定位置。
3. 避坑指南：

   • 极易在提取二项式第二项 $b=-\frac{1}{2x}$ 时，漏掉其中的负号。

   • 注意区分“系数”与“二项式系数”。“二项式系数”单纯指组合数 $C_n^r$（本题中为 $C_9^3=84$，恒为正数）；而“系数”包含了项内所有的常数乘积（本题中为 $-\frac{21}{2}$）。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 本题属于高考中关于“二项式定理”最标准的必考常规填空题，主要考查考生的公式记忆与基础代数化简能力。
2. 结论推广: 对于任意二项式 ${\left(A{x}^{\alpha }+B{x}^{\beta }\right)}^n$ 的展开式，其通项中 $x$ 的指数表达式恒为 $\alpha n+(\beta -\alpha )r$。若求 $x^m$ 的系数，可通过方程 $r=\frac{m-\alpha n}{\beta -\alpha }$ 快速定位项数，若解出的 $r\notin \mathbf{N}$ 或超出 $[0,n]$ 范围，则说明该项不存在，系数为 0。

🔗【关联脉络】

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• 22.03 二项式定理全总结

类题演练 (Links)

• 2012-安徽卷(理)-07 单-二项式定理
• 2012-福建卷(理)-11 填-定积分
• 2013-四川卷理-11 填-二项式通项