2003-广东卷-12 单-正四面体的几何性质

本题导读

本题主要考查正四面体外接球表面积的计算。解决此类立体几何外接球问题，最直接且高效的方法是将正四面体嵌入到一个正方体中，利用正四面体的棱即为正方体面对角线的几何特性，建立起四面体棱长与正方体边长（进而与外接球直径）的直接数量关系。

📌【题干】

Question

（2003年广东卷） 一个四面体的所有棱长都为 $\sqrt{2}$，四个顶点在同一球面上，则此球的表面积为()

A. $3\pi$　　　　　　　B. $4\pi$　　　　　　　C. $3\sqrt{3}\pi$　　　　　　　D. $6\pi$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 识别空间图形特征：四面体所有棱长均相等，说明该多面体是一个正四面体。

2. 巧妙运用补形法：正四面体可以完美地嵌入一个正方体中，正四面体的 6 条棱正好对应正方体的 6 个面的对角线。

3. 寻找直径关系链：

   • 正四面体的外接球同时也是该补形正方体的外接球。
   • 正方体的体对角线长度即为外接球的直径 $2R$。

4. 定量求解面积：通过正四面体的棱长求出正方体的边长，进而求出外接球的半径，最后代入球的表面积公式 $S=4\pi R^2$。

✅【答案】

Success

A

✍【详细解析】

Abstract

所有棱长都为 $\sqrt{2}$ 的四面体是一个每个面均为等边三角形的正四面体。

将该正四面体补形为一个外接的正方体。 设该正方体的棱长为 $a$。 因为正四面体的每一条棱都是该正方体某个面上的对角线， 所以根据勾股定理有： $\sqrt{2}a=\sqrt{2}⟹a=1$

由于正四面体的四个顶点就是正方体的四个交错顶点，因此它们的外接球是同一个。 正方体的体对角线长即为该外接球的直径 $2R$（其中 $R$ 为外接球半径）： $2R=\sqrt{3}a$

将 $a=1$ 代入上式，得外接球的直径： $2R=\sqrt{3}⟹R=\frac{\sqrt{3}}{2}$

将半径 $R$ 代入球的表面积公式中： $S=4\pi R^2=4\pi \times {\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)}^2$ $S=4\pi \times \frac{3}{4}=3\pi$

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：正四面体的空间结构，多面体外接球半径的求法，球的表面积公式 $S=4\pi R^2$。
2. 核心方法：构造补形法（模型化归思想）。这是解决正四面体相关度量（如距离、夹角、外接/内切球）时最经典、也是速度最快的降维模型技巧。
3. 避坑指南：

   • 极易直接使用传统几何法在正四面体内部通过高、重心等位置进行繁琐的勾股定理递推，计算量大且容易算错。

   • 混淆球的表面积公式 $4\pi R^2$ 与体积公式 $\frac{4}{3}\pi R^3$ 的代数结构。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 本题属于典型的立体几何多面体与旋转体切接问题，源于教材中对正多面体对称性探究的延伸内容。
2. 结论推广: 对于任意棱长为 $L$ 的正四面体：
   • 其补形正方体的边长 $a=\frac{\sqrt{2}}{2}L$；
   • 其外接球的直径 $2R=\sqrt{3}a=\frac{\sqrt{6}}{2}L⟹R=\frac{\sqrt{6}}{4}L$；
   • 其外接球的表面积恒为 $S=4\pi {\left(\frac{\sqrt{6}}{4}L\right)}^2=\frac{3}{2}\pi L^2$。 本题中代入 $L=\sqrt{2}$，得 $S=\frac{3}{2}\pi \times 2=3\pi$，与解析结果完美吻合。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 13.07 四面体的性质

类题演练 (Links)

• 1952-全国-10 填-球面积与大圆面积比
• 1953-全国-10 解-球的表面积与体积
• 1986-广东文-28 填-球内切圆柱的表面积比