2003-广东卷-11 单-直线与方程

本题导读

本题是一道平面解析几何与物理光学反射原理相结合的综合思维题。考查的核心在于处理质点在矩形边界内的多次碰撞反射。既可以通过建立直线方程逐段计算碰撞点坐标，也可以运用更高级的“几何平铺法”（即对称翻折法），将折线路径转化为一条连续的直线进行快速求解。

📌【题干】

Question

（2003年广东卷） 已知长方形的四个顶点 $A(0,0)$，$B(2,0)$，$C(2,1)$ 和 $D(0,1)$，一质点从 $AB$ 的中点 $P_0$ 沿与 $AB$ 的夹角 $\theta$ 的方向射到 $BC$ 上的点 $P_1$ 后，依次反射到 $CD$、$DA$ 和 $AB$ 上的点 $P_2$、$P_3$ 和 $P_4$（入射角等于反射角），设 $P_4$ 的坐标为 $(x_4,0)$，若 $1<x_4<2$，则 $\tan \theta$ 的取值范围是()

A. $\left(\frac{1}{3},1\right)$　　　B. $\left(\frac{1}{3},\frac{2}{3}\right)$　　　C. $\left(\frac{2}{5},\frac{1}{2}\right)$　　　D. $\left(\frac{2}{5},\frac{2}{3}\right)$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 基本物理与几何特征分析：由于反射过程中入射角等于反射角，意味着每次碰撞后，直线与边界围成的直角三角形均为相似三角形。光线在水平方向和垂直方向的运动是独立的，每次在水平边（$AB$ 或 $CD$）反射，垂直速度分量反向；在垂直边（$BC$ 或 $DA$）反射，水平速度分量反向。
2. 方法一（常规解法）：写出 $P_0$ 坐标 $(1,0)$，由于射线向右上方发射，斜率为 $k=\tan \theta$。写出直线 $P_0{P}_1$ 方程，令 $x=2$ 求出 $P_1$。以此类推，根据斜率变号的规律逐一反推出 $P_2,P_3,P_4$ 的代数表达式。
3. 方法二（镜像平铺法）：将质点在长方形内部的反射路径，通过将长方形沿着被碰撞的边不断进行镜面翻折，从而将内部的折线轨迹拉直为一条连续的直线。

   • 质点从 $P_0$ 出发，依次在 $BC$ ($x=2$)、 $CD$ ($y=1$)、 $DA$ ($x=0$) 上反射，最后回到 $AB$ ($y=0$)。

   • 经历这 4 段反射后，在垂直方向上图形先向上翻折再向下翻折，最终落回原水平基准线高度，对应的虚拟终点高度仍然与原矩形底边在一个周期上。

✅【答案】

Success

C

✍【详细解析】

Abstract

方法一：解析法（逐段推导坐标）

因为 $A(0,0),B(2,0)$，所以 $AB$ 的中点 $P_0$ 的坐标为 $(1,0)$。 质点从 $P_0$ 出发，与 $AB$ 轴夹角为 $\theta$，因为向右上方运动射向 $BC$，所以直线 $P_0{P}_1$ 的斜率为 $k=\tan \theta >0$。

1. 求 $P_1$ 坐标： 直线 $P_0{P}_1$ 的方程为：$y-0=k(x-1)⟹y=k(x-1)$。 点 $P_1$ 在边 $BC$ ($x=2$) 上，将其代入得 $y_1=k(2-1)=k$。 所以 $P_1(2,k)$。由于 $P_1$ 在 $BC$ 边上，需满足 $0<k<1$。

2. 求 $P_2$ 坐标： 在 $BC$ 边反射后，直线斜率变为 $-k$。直线 $P_1{P}_2$ 的方程为：$y-k=-k(x-2)⟹y=-kx+3k$。 点 $P_2$ 在边 $CD$ ($y=1$) 上，将其代入得 $1=-k{x}_2+3k⟹x_2=\frac{3k-1}{k}=3-\frac{1}{k}$。 所以 $P_2\left(3-\frac{1}{k},1\right)$。

3. 求 $P_3$ 坐标： 在 $CD$ 边反射后，直线斜率重新变为 $k$。直线 $P_2{P}_3$ 的方程为：$y-1=k\left(x-\left(3-\frac{1}{k}\right)\right)⟹y=kx-3k+2$。 点 $P_3$ 在边 $DA$ ($x=0$) 上，将其代入得 $y_3=k(0)-3k+2=2-3k$。 所以 $P_3(0,2-3k)$。

4. 求 $P_4$ 坐标： 在 $DA$ 边反射后，直线斜率再次变为 $-k$。直线 $P_3{P}_4$ 的方程为：$y-(2-3k)=-k(x-0)⟹y=-kx+2-3k$。 点 $P_4(x_4,0)$ 在边 $AB$ ($y=0$) 上，将其代入得： $0=-k{x}_4+2-3k⟹k{x}_4=2-3k⟹x_4=\frac{2-3k}{k}=\frac{2}{k}-3$

已知条件限定 $1<x_4<2$，代入上式建立关于 $k$ 的复合不等式组： $1<\frac{2}{k}-3<2$

各项同时加上 3： $4<\frac{2}{k}<5$

由于 $k>0$，取倒数同时不等号变向： $\frac{1}{5}<\frac{k}{2}<\frac{1}{4}$

各项同时乘以 2： $\frac{2}{5}<k<\frac{1}{2}$

即 $\tan \theta$ 的取值范围是 $\left(\frac{2}{5},\frac{1}{2}\right)$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：直线的点斜式方程，反射运动中斜率的符号交替规律（$k\to -k\to k\to -k$），分式不等式的解法。
2. 核心方法：代数递推法。通过上一阶段的终点作为下一阶段的起点，利用几何反射规律（同名轴反射斜率变号）维持方程链条。
3. 避坑指南：

   • 极易在多次反射的过程中将斜率的正负号记错。牢记：碰撞垂直墙面（左右边）或水平墙面（上下边）时，斜率都会发生一次变号。

   • 在解不等式 $4<\frac{2}{k}<5$ 取倒数时，切记不等号的方向需要发生颠倒。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 本题属于典型的“光线反射”问题，是平面解析几何与物理光学反射原理相结合的综合题。
2. 结论推广: 若长方形宽为 $a$、高为 $b$，质点从底边中点 $\left(\frac{a}{2},0\right)$ 出发，经过四周各碰撞一次后回到基准底边，其水平总位移可由多次镜面翻折后展平为一条直线求得。该方法免去中间坐标的逐段求解，直接建立初末状态的直角三角形。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 16.01 直线的倾斜角与斜率

类题演练 (Links)

• 1988-广东文-03 单-直线的截距
• 1988-广东理-01 单-直线的截距
• 1960-全国-06 解-方程组解为正数的条件