2003-广东卷-05 单-双曲线的标准方程与几何性质

本题导读

本题主要考查双曲线的几何性质及离心率的求解。解题的关键在于利用双曲线虚轴端点与两焦点构成的等腰三角形，结合给定的顶角大小，找出双曲线基本量 $b$ 与 $c$ 之间的比例关系，进而利用平方关系式 $c^2=a^2+b^2$ 求得离心率 $e=\frac{c}{a}$。

📌【题干】

Question

（2003年广东卷） 双曲线虚轴的一个端点为 $M$，两个焦点为 $F_1,F_2$，$\angle F_{1}M{F}_2=120^{\circ }$，则双曲线的离心率为()

A. $\sqrt{3}$　　　　　　　B. $\frac{\sqrt{6}}{2}$　　　　　　　C. $\frac{\sqrt{6}}{3}$　　　　　　　D. $\frac{\sqrt{3}}{3}$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 构建几何直观：不妨设双曲线的标准方程为 $\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$ ($a>0,b>0$)。此时虚轴端点可取 $M(0,b)$，焦点为 $F_1(-c,0),F_2(c,0)$。

2. 利用对称性找直角三角形：由于 $△F_{1}M{F}_2$ 是等腰三角形，$y$ 轴为底边 $F_1{F}_2$ 的垂直平分线，因此 $\angle F_{1}M{F}_2=120^{\circ }$ 可转化为直角 $△OM{F}_2$ 中的锐角 $\angle OM{F}_2=60^{\circ }$。

3. 建立 $b,c$ 比例并求离心率：在 Rt$△OM{F}_2$ 中，利用正切函数建立 $b$ 与 $c$ 的代数方程，再代入 $a^2=c^2-b^2$ 转化为关于 $a,c$ 的齐次式，解出 $e=\frac{c}{a}$。

✅【答案】

Success

B

✍【详细解析】

Abstract

不妨建立直角坐标系，设双曲线方程为 $\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$ ($a>0,b>0$)。 令虚轴端点为 $M(0,b)$，左右焦点分别为 $F_1(-c,0),F_2(c,0)$，坐标原点为 $O$。

根据双曲线的对称性，$△F_{1}M{F}_2$ 是以 $M$ 为顶点的等腰三角形，且 $MO\perp F_1{F}_2$。 因为 $\angle F_{1}M{F}_2=120^{\circ }$， 所以 $\angle OM{F}_2=\frac{1}{2}\angle F_{1}M{F}_2=60^{\circ }$。

在 Rt$△OM{F}_2$ 中： $OM=b,O{F}_2=c$ 根据三角函数关系： $\tan \angle OM{F}_2=\frac{O{F}_2}{OM}⟹\tan 60^{\circ }=\frac{c}{b}$

由此可得： $\frac{c}{b}=\sqrt{3}⟹b=\frac{c}{\sqrt{3}}⟹b^2=\frac{c^2}{3}$

根据双曲线中基本量的平方关系 $c^2=a^2+b^2$，将 $b^2$ 代入： $c^2=a^2+\frac{c^2}{3}$ $a^2=c^2-\frac{c^2}{3}=\frac{2}{3}{c}^2$

两边同时除以 $c^2$，变形为关于离心率平方的形式： $\frac{a^2}{c^2}=\frac{2}{3}⟹\frac{1}{e^2}=\frac{2}{3}⟹e^2=\frac{3}{2}$

因为双曲线的离心率 $e>1$，所以两边开平方取正值： $e=\sqrt{\frac{3}{2}}=\frac{\sqrt{6}}{2}$

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：双曲线中 $a,b,c$ 的几何几何意义（$a$ 为实半轴，$b$ 为虚半轴，$c$ 为半焦距），双曲线离心率公式 $e=\frac{c}{a}$ 及特征性质。

2. 核心方法：特征几何三角形法。由焦点与虚轴端点构成的直角三角形（三边长分别为 $a,b,c$ 的几何关系在椭圆中成立，而在双曲线中直角三角形三边分别为 $b,c$ 以及斜边 $\sqrt{b^2+c^2}$）是破题的核心。

3. 避坑指南：极易将双曲线的关系式 $c^2=a^2+b^2$ 与椭圆的关系式 $a^2=b^2+c^2$ 记混。在椭圆中，虚轴端点与焦点的连线长为 $a$；而在双曲线中，该连线长为 $\sqrt{b^2+c^2}$，并非 $a$。如果错记为椭圆关系，会误算出 $e=\frac{2\sqrt{3}}{3}$ 相关的错误答案。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 本题源于教材中对双曲线基本几何性质的直接考查。通过给定特殊角度，考查图形中的隐藏直角三角形基本量比例。
2. 结论推广: 在双曲线 $\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$ 中，若虚轴端点与两焦点构成的顶角 $\angle F_{1}M{F}_2=2\theta$，则由 $\tan \theta =\frac{c}{b}$ 可得 $b^2=\frac{c^2}{{\tan }^2\theta }$。代入 $c^2=a^2+b^2$ 可推导出离心率的通用特征公式：$e=\frac{1}{\sqrt{1-{\cot }^2\theta }}$（或表达为 $e=\frac{\sin \theta }{\sqrt{{\sin }^2\theta -{\cos }^2\theta }}$）。本题即为 $\theta =60^{\circ }$ 时的特殊情况。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 18.02 双曲线专题全总结

类题演练 (Links)

• 1985-全国文-07 填-双曲线的离心率
• 1985-广东理-14 单-双曲线的离心率
• 1986-全国文-16 填-双曲线的标准方程