2003-天津文-21 解-正弦型函数奇偶对称单调

本题导读

本题考查正弦型函数的奇偶性、对称性与单调性综合。

📌【题干】

Question

（2003年天津卷(文)） 已知函数 $f(x)=\sin (\omega x+\phi )$（$\omega >0$，$0⩽\phi ⩽\pi$）是 $\mathbf{R}$ 上的偶函数，其图象关于点 $M\left(\frac{3\pi }{4},0\right)$ 对称，且在区间 $\left[0,\frac{\pi }{2}\right]$ 上是单调函数，求 $\omega$ 和 $\phi$ 的值.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 偶函数得 $\cos \phi =0$，$\phi =\frac{\pi }{2}$，$f(x)=\cos \omega x$。
2. 关于 $M$ 对称得 $\omega =\frac{2(2m+1)}{3}$。
3. 单调性限 $m=0,1$，故 $(\omega ,\phi )=\left(\frac{2}{3},\frac{\pi }{2}\right)$ 或 $\left(2,\frac{\pi }{2}\right)$。

✅【答案】

Success

$(\omega ,\phi )=\left(\frac{2}{3},\frac{\pi }{2}\right)$ 或 $\left(2,\frac{\pi }{2}\right)$

✍【详细解析】

Abstract

由 $f(x)$ 是偶函数，$f(x)=f(-x)$ 即 $\sin (\omega x+\phi )=\sin (-\omega x+\phi )$ 对任意 $x$ 成立，得 $2\cos \phi \sin \omega x=0$，又 $\omega >0$，故 $\cos \phi =0$，结合 $0⩽\phi ⩽\pi$ 得 $\phi =\frac{\pi }{2}$，$f(x)=\cos \omega x$.图象关于 $M\left(\frac{3\pi }{4},0\right)$ 对称，故 $\cos \left(\omega \left(\frac{3\pi }{2}-x\right)\right)=-\cos \omega x$，令 $t=\omega x$，展开得 $\cos \frac{3\pi \omega }{2}=-1,\sin \frac{3\pi \omega }{2}=0$，故 $\frac{3\pi \omega }{2}=(2m+1)\pi$，$\omega =\frac{2(2m+1)}{3}$（$m$ 为非负整数）．在 $\left[0,\frac{\pi }{2}\right]$ 上 $\omega x\in \left[0,\frac{(2m+1)\pi }{3}\right]$，当 $m=0,1$ 时 $\cos \omega x$ 单调递减；当 $m⩾2$ 时区间内越过 $\pi$，函数先减后增，不满足单调性。故 $(\omega ,\phi )=\left(\frac{2}{3},\frac{\pi }{2}\right)$ 或 $\left(2,\frac{\pi }{2}\right)$.

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：正弦型函数奇偶对称单调
2. 核心方法：偶函数得 $\cos \phi =0$，$\phi =\frac{\pi }{2}$；关于 $M(\frac{3\pi }{4},0)$ 对称得 $\omega =\frac{2(2m+1)}{3}$；$[0,\frac{\pi }{2}]$ 单调限 $m=0,1$，$(\omega ,\phi )=(\frac{2}{3},\frac{\pi }{2})$ 或 $(2,\frac{\pi }{2})$
3. 避坑指南：偶函数 $\cos \phi =0$；单调性排除 $m⩾2$

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 源于正弦型函数，教材”三角函数”
2. 结论推广: 一般化：奇偶性定 $\phi$，对称性定 $\omega$，单调性限参数；三条件逐步定参数

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 07.03 三角函数的图象与性质

类题演练 (Links)

• 2007-大纲Ⅰ文-10 单-二倍角降幂与单调区间
• 2012-大纲卷文-03 单-正弦型函数奇偶性
• 2008-大纲Ⅰ文-06 单-三角奇偶周期