2003-天津文-18 解-抛物线公切线

本题导读

本题考查抛物线的公切线问题，重点在于判别式为零的条件。

📌【题干】

Question

（2003年天津卷(文)） 已知抛物线 $C_1:y=x^2+2x$ 和 $C_2:y=-x^2+a$，如果直线 $l$ 同时是 $C_1$ 和 $C_2$ 的切线，称 $l$ 是 $C_1$ 和 $C_2$ 的公切线，公切线上两个切点之间的线段，称为公切线段.

(1) $a$ 取什么值时，$C_1$ 和 $C_2$ 有且仅有一条公切线？写出此公切线的方程；

(2) 若 $C_1$ 和 $C_2$ 有两条公切线，证明相应的两条公切线段互相平分.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 设公切线 $y=kx+b$，与 $C_1$ 联立判别式为零得 $b=-\frac{(k-2{)}^2}{4}$。
2. 与 $C_2$ 联立判别式为零得 $b=a+\frac{k^2}{4}$。
3. 消 $b$ 得 $k^2-2k+2+2a=0$，判别式为零得 $a=-\frac{1}{2}$，$k=1$，公切线 $y=x-\frac{1}{4}$。

✅【答案】

Success

(1) $a=-\frac{1}{2}$，公切线 $y=x-\frac{1}{4}$

(2) 证明见解析

✍【详细解析】

Abstract

设公切线方程为 $y=kx+b$（抛物线切线不可能竖直，这样设不失一般性）．与 $C_1$ 联立得 $x^2+(2-k)x-b=0$，有重根故 $(2-k{)}^2+4b=0$，即 $b=-\frac{(k-2{)}^2}{4}$.与 $C_2$ 联立得 $x^2+kx+b-a=0$，有重根故 $k^2-4(b-a)=0$，即 $b=a+\frac{k^2}{4}$.消去 $b$ 得 $k^2-2k+2+2a=0$. （1）公切线条数由上述关于 $k$ 的二次方程实根个数决定，有且仅一条时判别式 $(-2{)}^2-4(2+2a)=0$，得 $a=-\frac{1}{2}$，且 $k=1$，此时 $b=-\frac{(1-2{)}^2}{4}=-\frac{1}{4}$，公切线方程为 $y=x-\frac{1}{4}$. （2）设两条公切线斜率为 $k_1,k_2$.对斜率 $k$，它与 $C_1$ 的切点横坐标是 $x^2+(2-k)x-b=0$ 的重根 $x=\frac{k-2}{2}$，切点 $T(k)=\left(\frac{k-2}{2},\frac{k^2-4}{4}\right)$；与 $C_2$ 的切点横坐标是 $x^2+kx+b-a=0$ 的重根 $x=-\frac{k}{2}$，切点 $S(k)=\left(-\frac{k}{2},\frac{a-k^2}{4}\right)$.公切线段中点 $\left(-\frac{1}{2},\frac{a-1}{2}\right)$ 与 $k$ 无关，故对应 $k_1,k_2$ 的两条公切线段有同一中点，互相平分。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：抛物线公切线
2. 核心方法：设公切线 $y=kx+b$，与 $C_1$ 相切得 $b=-\frac{(k-2{)}^2}{4}$，与 $C_2$ 相切得 $b=a+\frac{k^2}{4}$，消 $b$ 得 $k^2-2k+2+2a=0$；仅一公切线时 $a=-\frac{1}{2}$，$y=x-\frac{1}{4}$
3. 避坑指南：公切线数与关于 $k$ 的二次方程实根数对应；判别式为零得 $a=-\frac{1}{2}$

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 源于抛物线与切线，教材”圆锥曲线”
2. 结论推广: 一般化：公切线数对应关于斜率的二次方程实根数；设公切线方程联立判别式为零

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 18.03 抛物线专题全总结

类题演练 (Links)

• 2009-江西卷文-12 单-公切线与切线方程
• 2012-大纲卷文-22 解-抛物线与圆公切线
• 2012-广东卷文-20 解-椭圆与抛物线公切线