2003-天津文-03 单-复数除法运算

本题导读

本题考查复数的四则运算，重点在于分母有理化。

📌【题干】

Question

（2003年天津卷(文)） $\frac{1-\sqrt{3}i}{(\sqrt{3}+i{)}^2}=$()

A. $\frac{1}{4}+\frac{\sqrt{3}}{4}i$　　　B. $-\frac{1}{4}-\frac{\sqrt{3}}{4}i$　　　C. $\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}i$　　　D. $-\frac{1}{2}-\frac{\sqrt{3}}{2}i$

🔍【思路分析】

破题导航

1. $(\sqrt{3}+i{)}^2=3+2\sqrt{3}i+i^2=2+2\sqrt{3}i$。
2. 原式 $=\frac{1-\sqrt{3}i}{2+2\sqrt{3}i}$，分子分母同乘共轭 $2-2\sqrt{3}i$。
3. 得 $\frac{(1-\sqrt{3}i)(2-2\sqrt{3}i)}{4+12}=-\frac{1}{4}-\frac{\sqrt{3}}{4}i$，选 B。

✅【答案】

Success

B

✍【详细解析】

Abstract

$(\sqrt{3}+i{)}^2=3+2\sqrt{3}i+i^2=2+2\sqrt{3}i$，故原式 $=\frac{1-\sqrt{3}i}{2+2\sqrt{3}i}=\frac{(1-\sqrt{3}i)(2-2\sqrt{3}i)}{(2+2\sqrt{3}i)(2-2\sqrt{3}i)}=\frac{2-2\sqrt{3}i-2\sqrt{3}i+6i^2}{4+12}=\frac{-4-4\sqrt{3}i}{16}=-\frac{1}{4}-\frac{\sqrt{3}}{4}i$，选 B

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：复数除法运算
2. 核心方法：$(1-\sqrt{3}i)/(\sqrt{3}+i{)}^2=(1-\sqrt{3}i)/(2+2\sqrt{3}i)=\frac{1-\sqrt{3}i}{2+2\sqrt{3}i}\cdot \frac{2-2\sqrt{3}i}{2-2\sqrt{3}i}=-\frac{1}{4}-\frac{\sqrt{3}}{4}i$
3. 避坑指南：分母 $(\sqrt{3}+i{)}^2=3+2\sqrt{3}i+i^2=2+2\sqrt{3}i$；复数除法乘共轭

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 源于复数四则运算，教材”复数”
2. 结论推广: 一般化：复数除法乘分母共轭；先算分母平方，再乘共轭化简

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 12.01 数系的扩充与复数

类题演练 (Links)

• 2008-江苏卷-03 填-复数除法运算
• 2009-天津文-01 单-复数除法
• 2010-湖南卷文-01 单-复数除法运算