2003-大纲文-11 单-反射问题求斜率

本题导读

本题考查光的反射问题与直线斜率范围，重点在于利用反射的对称展开确定反射点位置。

📌【题干】

Question

（2003年大纲卷(文)） 已知长方形的四个顶点 $A(0,0)$、$B(2,0)$、$C(2,1)$ 和 $D(0,1)$，一质点从 $AB$ 的中点 $P_0$ 沿与 $AB$ 的夹角 $\theta$ 的方向射到 $BC$ 上的点 $P_1$ 后，依次反射到 $CD$、$DA$ 和 $AB$ 上的点 $P_2$、$P_3$ 和 $P_4$（入射角等于反射角）．设 $P_4$ 的坐标为 $(x_4,0)$，若 $1<x_4<2$，则 $\tan \theta$ 的取值范围是()

A. $\left(\frac{1}{3},1\right)$　　　　B. $\left(\frac{1}{3},\frac{2}{3}\right)$　　　　C. $\left(\frac{2}{5},\frac{1}{2}\right)$　　　　D. $\left(\frac{2}{5},\frac{3}{5}\right)$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 设 $\tan \theta =k$，逐段反射得 $P_4$ 横坐标 $x_4=\frac{2}{k}-3$。
2. 由 $1<x_4<2$ 得 $1<\frac{2}{k}-3<2$。
3. 即 $4<\frac{2}{k}<5$，故 $\frac{2}{5}<k<\frac{1}{2}$，选 C。

✅【答案】

Success

C

✍【详细解析】

Abstract

设 $\tan \theta =k$（$k>0$）．由 $P_0(1,0)$ 射到 $BC$ 边得 $P_1=(2,k)$，反射到 $CD$ 边（$y=1$）得 $P_2=\left(2-\frac{1-k}{k},1\right)$，再反射到 $DA$ 边（$x=0$）得 $P_3=\left(0,2-3k\right)$，最后反射到 $AB$ 边（$y=0$）得 $P_4$ 的横坐标 $x_4=\frac{2-3k}{k}=\frac{2}{k}-3$.由 $1<x_4<2$ 得 $1<\frac{2}{k}-3<2$，即 $4<\frac{2}{k}<5$，故 $\frac{2}{5}<k<\frac{1}{2}$，选 C

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：反射问题求斜率
2. 核心方法：设 $\tan \theta =k$，逐段反射得 $P_4$ 横坐标 $x_4=\frac{2}{k}-3$；由 $1<x_4<2$ 得 $4<\frac{2}{k}<5$，即 $\frac{2}{5}<k<\frac{1}{2}$
3. 避坑指南：反射逐段追踪或对称展开；$x_4=\frac{2}{k}-3$ 关于 $k$ 单调递减，故 $1<x_4<2$ 对应 $\frac{2}{5}<k<\frac{1}{2}$

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 源于反射问题（光的反射定律），教材”直线与方程”
2. 结论推广: 一般化：反射等价于对称展开，逐段追踪反射点坐标；设斜率 $k$，逐段求反射点，用条件列不等式解范围

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 16.01 直线的倾斜角与斜率
• 16.02 直线方程的形式与直线系

类题演练 (Links)

• 2012-大纲卷文-12 单-反射展开计数
• 2004-全国卷I文-08 单-抛物线准线与斜率范围
• 2005-全国卷I文-12 单-圆的切线斜率