2003-大纲文-10 单-圆锥内接圆柱面积

本题导读

本题考查圆锥内接圆柱的全面积，重点在于用相似比确定圆柱的高。

📌【题干】

Question

（2003年大纲卷(文)） 已知圆锥的底面半径为 $R$，高为 $3R$，它的内接圆柱的底面半径为 $\frac{3}{4}R$，该圆柱的全面积为()

A. $2\pi R^2$　　　　　B. $\frac{9}{4}\pi R^2$　　　　　C. $\frac{8}{3}\pi R^2$　　　　　D. $\frac{5}{2}\pi R^2$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 设内接圆柱高 $h$，距底面 $h$ 处截面半径 $R(1-\frac{h}{3R})=\frac{3}{4}R$。
2. 解得 $h=\frac{3}{4}R$。
3. 全面积 $2\pi (\frac{3}{4}R{)}^2+2\pi (\frac{3}{4}R)(\frac{3}{4}R)=\frac{9}{4}\pi R^2$，选 B。

✅【答案】

Success

B

✍【详细解析】

Abstract

设内接圆柱的高为 $h$.以圆锥底面为基准，距底面 $h$ 处圆锥截面的半径为 $R\left(1-\frac{h}{3R}\right)$，该截面即圆柱的上底面，故 $R\left(1-\frac{h}{3R}\right)=\frac{3}{4}R$，解得 $h=\frac{3}{4}R$.圆柱的全面积为 $2\pi {\left(\frac{3}{4}R\right)}^2+2\pi \left(\frac{3}{4}R\right)\cdot \frac{3}{4}R=\frac{9}{4}\pi R^2$，选 B

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：圆锥内接圆柱面积
2. 核心方法：距底面 $h$ 处截面半径 $R(1-\frac{h}{3R})=\frac{3}{4}R$，$h=\frac{3}{4}R$；全面积 $2\pi (\frac{3}{4}R{)}^2+2\pi (\frac{3}{4}R)(\frac{3}{4}R)=\frac{9}{4}\pi R^2$
3. 避坑指南：相似比定内接圆柱高；全面积=两底+侧面积，勿漏一个底

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 源于旋转体内接几何体，教材”立体几何”
2. 结论推广: 一般化：圆锥内接圆柱用相似比定高，全面积=底+侧；截面相似求高，再算全面积

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 13.01 空间几何体的结构、表面积与体积
• 13.02 外接球和内切球模型

类题演练 (Links)

• 2004-北京春文-04 单-圆锥母线与底面夹角
• 2009-上海卷文-08 填-旋转体圆锥体积
• 2011-上海卷文-07 填-圆锥侧面积