2003-北京卷理-19 解-函数的应用

本题导读

本题是一道应用实际背景的解析几何与函数最值综合建模题。通过建立直角坐标系，将空间中的几何距离转化为代数函数表达式。第 (1) 问转化为二次函数求最值问题；第 (2) 问属于典型的“最小化最大值（极小极大问题）”，需要构造分段函数并结合其单调性进行分类讨论。

📌【题干】

Question

（2003年北京卷(理)） 有三个新兴城镇，分别位于 $A,B,C$ 三点处，且 $AB=AC=a$，$BC=2b$.今计划合建一个中心医院，为同时方便三镇，准备建在 $BC$ 的垂直平分线上的 $P$ 点处.（建立坐标系如图）

(1) 若希望点 $P$ 到三镇距离的平方和最小，点 $P$ 应位于何处？

(2) 若希望点 $P$ 到三镇的最远距离最小，点 $P$ 应位于何处？

🔍【思路分析】

破题导航

1. 确立点坐标：以 $BC$ 的中点 $O$ 为原点，$BC$ 所在直线为 $x$ 轴，$BC$ 的垂直平分线为 $y$ 轴建立直角坐标系。由此可写出 $B(-b,0),C(b,0)$。由 $AC=a$ 在 Rt$△AOC$ 中利用勾股定理求得 $A\left(0,\sqrt{a^2-b^2}\right)$。

2. 构建目标函数 (1)：设 $P(0,y)$，写出距离平方和 $S(y)=P{A}^2+P{B}^2+P{C}^2$ 关于 $y$ 的二次函数，通过配方法求其对称轴处的最小值。

3. 构建目标函数 (2)：分别写出 $PA$ 和 $PB$（或 $PC$）关于 $y$ 的距离函数。比较两个函数的大小关系，找出“最远距离”的函数解析式，再通过讨论 $a$ 与 $b$ 的相对大小（即三角形的形状）确定其极小值点。

✅【答案】

Success

(1) 点 $P$ 位于 $BC$ 垂直平分线上距 $O$ 点 $\frac{\sqrt{a^2-b^2}}{3}$ 处（即 $△ABC$ 的重心）

(2) 当 $a\le \sqrt{2}b$ 时，点 $P$ 位于 $BC$ 的中点 $O$ 处；当 $a>\sqrt{2}b$ 时，点 $P$ 位于 $BC$ 垂直平分线上距 $O$ 点 $\frac{a^2-2b^2}{2\sqrt{a^2-b^2}}$ 处（即 $△ABC$ 的外心）

✍【详细解析】

Abstract

如图，以 $BC$ 的中点 $O$ 为原点建立空间直角坐标系。 由题意， $B(-b,0)$，$C(b,0)$。 在 Rt$△AOC$ 中， $OC=b$，$AC=a$，则 $OA=\sqrt{a^2-b^2}$，故 $A\left(0,\sqrt{a^2-b^2}\right)$。 设中心医院 $P$ 点的坐标为 $(0,y)$。

(1) 若希望点 $P$ 到三镇距离的平方和最小，点 $P$ 应位于何处？

设 $P$ 到三镇距离的平方和为 $S$，则： $S=P{A}^2+P{B}^2+P{C}^2={\left(y-\sqrt{a^2-b^2}\right)}^2+(0-(-b){)}^2+y^2+(0-b{)}^2+y^2$ $S=\left(y^2-2\sqrt{a^2-b^2}y+a^2-b^2\right)+(b^2+y^2)+(b^2+y^2)$ $S=3y^2-2\sqrt{a^2-b^2}y+a^2+b^2$

这是一个关于 $y$ 的开口向上的二次函数，当对称轴处取得最小值： $y=\frac{2\sqrt{a^2-b^2}}{2\times 3}=\frac{\sqrt{a^2-b^2}}{3}$

因为 $OA=\sqrt{a^2-b^2}$，所以此时 $y=\frac{1}{3}OA$。 答：点 $P$ 应位于 $BC$ 的垂直平分线上，且在 $O$ 点上方距离 $O$ 点 $\frac{\sqrt{a^2-b^2}}{3}$ 处（即 $△ABC$ 的重心处）。

(2) 若希望点 $P$ 到三镇的最远距离最小，点 $P$ 应位于何处？

点 $P(0,y)$ 到三镇的距离分别为： $PA=\left|y-\sqrt{a^2-b^2}\right|$ $PB=PC=\sqrt{b^2+y^2}$

设 $P$ 到三镇的最远距离为 $f(y)=\max \{PA,PB\}$。由于随着 $y$ 的变动， $PA$ 与 $PB$ 的相对大小会发生改变。 令 $P{A}^2=P{B}^2$，即： ${\left(y-\sqrt{a^2-b^2}\right)}^2=b^2+y^2$ $y^2-2\sqrt{a^2-b^2}y+a^2-b^2=b^2+y^2$ $2\sqrt{a^2-b^2}y=a^2-2b^2$ 当 $a^2-2b^2>0$（即 $a>\sqrt{2}b$）时，两函数图像的交点为 $y_0=\frac{a^2-2b^2}{2\sqrt{a^2-b^2}}$。

需要对 $△ABC$ 的形状进行分类讨论（即顶角 $\angle A$ 是锐角、直角还是钝角）：

情况 1：当 $a^2-2b^2\le 0$ 时（即 $△ABC$ 为等腰直角或等腰钝角三角形，$\angle A\ge 90^{\circ }$） 此时对于任意的 $y\ge 0$，均有 $P{B}^2\ge P{A}^2$，即最远距离总是由 $PB$（或 $PC$）决定。 $f(y)=PB=\sqrt{b^2+y^2}$ 当 $y=0$ 时， $f(y)$ 取得最小值 $b$。此时点 $P$ 与原点 $O$ 重合。

情况 2：当 $a^2-2b^2>0$ 时（即 $△ABC$ 为等腰锐角三角形，$\angle A<90^{\circ }$） 此时 $PA$ 与 $PB$ 的曲线交于 $y_0=\frac{a^2-2b^2}{2\sqrt{a^2-b^2}}$。

• 当 $y<y_0$ 时， $PA>PB$，最远距离 $f(y)=PA$（单调递减）；
• 当 $y>y_0$ 时， $PB>PA$，最远距离 $f(y)=PB$（单调递增）。 根据单调性，当 $y=y_0$ 时，最远距离 $f(y)$ 取得最小值。 此时 $PA=PB$，点 $P$ 即为 $△ABC$ 的外心。 其具体位置的高度为 $y=\frac{a^2-2b^2}{2\sqrt{a^2-b^2}}$。

答：

• 当 $a\le \sqrt{2}b$ 时，点 $P$ 应位于 $BC$ 的中点 $O$ 处；

• 当 $a>\sqrt{2}b$ 时，点 $P$ 应位于 $BC$ 的垂直平分线上且距离 $O$ 点 $\frac{a^2-2b^2}{2\sqrt{a^2-b^2}}$ 处（即 $△ABC$ 的外心处）。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：根据几何图形建立解析函数关系式，分段函数（Max型函数）的最值讨论。

2. 核心方法：极小极大（Minimax）处理法。通过联立边界方程找平衡点（外心或原点），确定最大值之中的最小状态。

3. 避坑指南：第 (2) 问极易漏掉分类讨论。考生常直接默认点 $P$ 必须满足 $PA=PB$，从而直接解出外心坐标。然而如果三角形是钝角三角形（$a\le \sqrt{2}b$），外心将落在三角形外部，此时距离外心最远点并非取得最小值的平衡状态，实际极值点在底边中点 $O$。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 本题属于应用数学经典分支——“选址问题（Facility Location Problem）”。第 (1) 问对应平方误差和最小的“质心/重心”选址；第 (2) 问对应覆盖最大半径最小的“切比雪夫中心（外心）”选址。
2. 结论推广: 对于平面上任意三角形的三顶点选址：
   • 距离平方和最小的点永远是该三角形的重心。
   • 到三顶点最远距离最小的点，若三角形为锐角三角形，则是其外心；若三角形含有钝角（或直角），则是其最长边的中点。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 05.02 函数的四大性质

类题演练 (Links)

• 1977-上海文-07 解-二次函数最小值
• 1977-辽宁-06 解-二次函数最值
• 1982-全国文-05 解-篱笆围场的最大面积