2003-北京卷理-15 解-三角恒等变换

本题导读

本题主要考查三角函数的恒等变换、最小正周期以及闭区间上的最值求解。通过平方差公式和二倍角公式将复杂的三角代数式化简为 $A\sin (\omega x+\phi )+B$ 的标准形式，进而求解其周期与最值，考查基础运算能力。

📌【题干】

Question

（2003年北京卷(理)） 已知函数 $f(x)={\cos }^{4}x-2\sin x\cos x-{\sin }^{4}x$.

(1) 求 $f(x)$ 的最小正周期；

(2) 若 $x\in \left[0,\frac{\pi }{2}\right]$，求 $f(x)$ 的最大值、最小值.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 恒等变换化简：利用平方差公式将 ${\cos }^{4}x-{\sin }^{4}x$ 展开并化简为 $\cos 2x$，利用二倍角公式将 $2\sin x\cos x$ 化为 $\sin 2x$。

2. 应用辅助角公式：将化简后的两项式结合，转化为单一的正弦型函数。

3. 求解周期与最值：根据周期公式 $T=\frac{2\pi }{|\omega |}$ 计算最小正周期；结合给定区间确定整体角的范围，利用正弦函数的单调性求解最值。

✅【答案】

Success

(1) 最小正周期为 $\pi$

(2) 最大值为 $1$，最小值为 $-\sqrt{2}$

✍【详细解析】

Abstract

(1) 求 $f(x)$ 的最小正周期

对函数 $f(x)$ 的解析式进行恒等变换： $f(x)=({\cos }^{4}x-{\sin }^{4}x)-2\sin x\cos x$ $f(x)=({\cos }^{2}x-{\sin }^{2}x)({\cos }^{2}x+{\sin }^{2}x)-2\sin x\cos x$

因 ${\cos }^{2}x+{\sin }^{2}x=1$，且根据二倍角公式 ${\cos }^{2}x-{\sin }^{2}x=\cos 2x$，$2\sin x\cos x=\sin 2x$，代入得： $f(x)=\cos 2x-\sin 2x$

利用辅助角公式变形： $f(x)=\sqrt{2}\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\cos 2x-\frac{\sqrt{2}}{2}\sin 2x\right)=\sqrt{2}\cos \left(2x+\frac{\pi }{4}\right)$ （亦可化为 $-\sqrt{2}\sin \left(2x-\frac{\pi }{4}\right)$）

此时，函数中 $\omega =2$。 故 $f(x)$ 的最小正周期为： $T=\frac{2\pi }{|\omega |}=\frac{2\pi }{2}=\pi$

(2) 若 $x\in \left[0,\frac{\pi }{2}\right]$，求 $f(x)$ 的最大值、最小值

因为 $x\in \left[0,\frac{\pi }{2}\right]$， 所以 $2x\in [0,\pi ]$， 进而有 $2x+\frac{\pi }{4}\in \left[\frac{\pi }{4},\frac{5\pi }{4}\right]$。

根据余弦函数在各区间的单调性：

• 当 $2x+\frac{\pi }{4}=\frac{\pi }{4}$，即 $x=0$ 时，$\cos \left(2x+\frac{\pi }{4}\right)$ 取得最大值 $\cos \frac{\pi }{4}=\frac{\sqrt{2}}{2}$；
• 当 $2x+\frac{\pi }{4}=\pi$，即 $x=\frac{3\pi }{8}$ 时，$\cos \left(2x+\frac{\pi }{4}\right)$ 取得最小值 $\cos \pi =-1$。

将对应的最值代入 $f(x)=\sqrt{2}\cos \left(2x+\frac{\pi }{4}\right)$：

• 最大值为：$f(x{)}_{\max }=\sqrt{2}\times \frac{\sqrt{2}}{2}=1$

• 最小值为：$f(x{)}_{\min }=\sqrt{2}\times (-1)=-\sqrt{2}$

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：倍角公式与辅助角公式的综合运用， $y=A\cos (\omega x+\phi )$ 型函数在闭区间上的性质。

2. 核心方法：整体代换法。将 $2x+\frac{\pi }{4}$ 视为一个整体参数，通过正余弦基本图像确定其取值边界。

3. 避坑指南：在求解第 (2) 问时，易直接代入区间端点 $x=0$ 和 $x=\frac{\pi }{2}$ 计算，从而漏掉函数在区间内部取得最值（如 $x=\frac{3\pi }{8}$ 时取得 $-1$）的情况。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 本题属于三角函数大题中的第一道基础题，由教材中异名同角三角代数式的化简方法演变而来。
2. 结论推广: 对于形如 $f(x)={\cos }^{2n}x-{\sin }^{2n}x$ 类型的表达式，当 $n=2$ 时可通过平方差公式直接降幂。此类正余弦对称多项式通常均可通过二倍角变换统一转化为关于 $2x$ 的简谐振动方程形式。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 10.02 倍角、降幂与升幂公式

类题演练 (Links)

• 2006-广东卷-15 解-辅助角三角最值
• 2006-重庆文-18 解-辅助角三角最值
• 1986-上海文-32 解-三角式的最值