2003-北京卷理-13 填-柱体体积公式

本题导读

本题考查不规则柱体（斜截圆柱）的体积计算。核心意图在于测试学生利用几何对称性将非标准几何体进行空间拓扑补形的能力，通过引入完全相同的倒置几何体拼凑为标准的圆柱体，从而化繁为简求解体积。

📌【题干】

Question

（2003年北京卷(理)） 13. 如图，已知底面半径为 $r$ 的圆柱被一个平面所截，剩下部分母线长的最大值为 $a$，最小值为 $b$，那么圆柱被截后剩下部分的体积是$\underline{}$_.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 几何体特征分析：该截断体底面是一个半径为 $r$ 的圆，侧面垂直于底面，但顶面是一个倾斜的椭圆截面。无法直接套用标准的 $V=S\cdot h$ 柱体公式。

2. 空间补形法（倒置拼接）：

   • 设想一个与原剩下部分完全相同的几何体 $V^{\prime }$。
   • 将 $V^{\prime }$ 倒置过来，让其倾斜的椭圆截面与原几何体的椭圆截面完全重合拼接。
   • 观察拼接后的整体空间形态。由于截面的对称性，原高为 $a$ 的母线与新高为 $b$ 的母线相接，原高为 $b$ 的母线与新高为 $a$ 的母线相接。
   • 拼接后的几何体形成了一个高度为 $(a+b)$、底面半径为 $r$ 的标准正圆柱体。

3. 等量代换求解：整个标准圆柱的体积为 $V_{\text{总}}=\pi r^2(a+b)$，而原剩下部分的体积 $V$ 恰好是总体积的一半。

✅【答案】

Success

$\frac{1}{2}\pi r^2(a+b)$

✍【详细解析】

Abstract

第一步：构造对称补形体 设圆柱被截后剩下部分的体积为 $V$。 构造一个与该几何体完全相同的空间截断体 $V^{\prime }$。显然， $V^{\prime }$ 的底面半径同样为 $r$，母线长最大值亦为 $a$，最小值亦为 $b$。

第二步：倒置拼接为标准正圆柱 将几何体 $V^{\prime }$ 翻转倒置，使其倾斜的顶部截面与原几何体 $V$ 的顶部斜截面精确对齐并贴合。 根据斜截圆柱的中心对称性质：

• 原几何体中长度最大的母线 $a$ 恰好与 $V^{\prime }$ 中长度最小的母线 $b$ 顺次对接，该侧边缘总高度变为 $a+b$；
• 原几何体中长度最小的母线 $b$ 恰好与 $V^{\prime }$ 中长度最大的母线 $a$ 顺次对接，该侧边缘总高度变为 $b+a$；
• 事实上，通过圆心的任意一条直径两端的母线高度之和，在拼合后均恒等于 $a+b$。

因此，两物体拼接后组成了一个底面半径为 $r$、高为 $a+b$ 的标准正圆柱体。

第三步：利用体积关系求解 该标准组合圆柱体的总体积为： $V_{\text{总}}=S_{\text{底}}\cdot h_{\text{总}}=\pi r^2\cdot (a+b)$ 由于原几何体 $V$ 与补形体 $V^{\prime }$ 的体积完全相等，所以原剩下部分的体积 $V$ 占组合圆柱总体积的一半： $V=\frac{1}{2}{V}_{\text{总}}=\frac{1}{2}\pi r^2(a+b)$

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：斜截柱体的体积计算；空间补形法（全等拼接）在非标准柱体体积中的应用。
2. 核心方法：补形法。
3. 避坑指南：

   • 盲目微元积分陷阱：部分学生由于学习了微积分，尝试在底面建立平面直角坐标系，将高度 $h(x)$ 写成关于坐标的函数进行定积分求解。虽然理论可行，但计算过程涉及大量的根号运算和三角代换，极其耗时且易错。高考立体几何中遇到“斜截柱体”或“水杯倾斜”模型，99% 的正解均是使用“全等倒置拼合”或“取平均高度”，可实现直接秒杀。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 本题属于空间度量板块中经典的斜截柱体体积问题。由于被截表面是平面，其关于底面圆心的切片高度呈线性对称，平均高度等于正中心点的高度（即 $\frac{a+b}{2}$）。

2. 结论推广: 【广义斜截柱体体积定理】 对于任意一个底面积为 $S$ 的柱体（可以是圆柱、正棱柱或任意形状的柱体），若其被一个不平行于底面的平面所截：

• 只要其底面几何图形是一个中心对称图形（如正方形、正六边形、圆、椭圆等），且长短母线关于对称中心成对分布；
• 该斜截柱体的体积 $V$ 恒等于底面积乘以所有母线长度的算术平均值（即中心轴线的截断高度）： $V=S\cdot \bar{h}=S\cdot \frac{h_{\max }+h_{\min }}{2}$
• 本题切合点：底面为圆（中心对称），面积 $S=\pi r^2$，平均高度 $\bar{h}=\frac{a+b}{2}$。直接套用推广大招公式： $V=\pi r^2\cdot \frac{a+b}{2}$ 利用该定理，未来无论遇到三棱柱斜截、四棱柱斜截还是圆柱斜截，只要底面对称且已知最高最低点，均可省去全部拼图过程，直接用平均高度法一秒出解。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 13.01 空间几何体的结构、表面积与体积

类题演练 (Links)

• 2014-湖北卷理-08 单-体积公式
• 1952-全国-11 填-直圆锥体积
• 1953-全国-09 解-直三棱柱的体积