2003-北京卷理-12 填-双曲线的标准方程与几何性质

本题导读

本题考查双曲线与抛物线几何特征的综合应用。核心意图在于测试学生利用双曲线的标准方程提取顶点、焦点等几何元素，并将其精准映射为平移状态下抛物线的几何参数，从而构建出正确的抛物线标准方程。

📌【题干】

Question

（2003年北京卷(理)） 12. 以双曲线 $\frac{x^2}{16}-\frac{y^2}{9}=1$ 右顶点为顶点，左焦点为焦点的抛物线的方程是$\underline{}$_.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 提取双曲线的几何特征量：从标准方程 $\frac{x^2}{16}-\frac{y^2}{9}=1$ 中读出实半轴长 $a$ 和虚半轴长 $b$，利用平方和关系 $c^2=a^2+b^2$ 求出半焦距 $c$。
2. 确定抛物线的核心特征点：
   • 抛物线的顶点 $V$ 为双曲线的右顶点，坐标为 $(a,0)$；
   • 抛物线的焦点 $F$ 为双曲线的左焦点，坐标为 $(-c,0)$。
3. 推导抛物线的标准方程：

   • 观察顶点 $V(a,0)$ 与焦点 $F(-c,0)$ 的相对位置。由于焦点在顶点的左侧，可知该抛物线开口向左；

   • 焦准距（顶点到焦点的距离）满足 $p=2\cdot |VF|$。计算该距离，套用顶点在 $(h,0)$、开口向左的抛物线平移标准方程 $(y-0{)}^2=-2p(x-h)$ 求解。

✅【答案】

Success

$y^2=-36(x-4)$

✍【详细解析】

Abstract

第一步：求双曲线的右顶点和左焦点坐标 已知双曲线方程为 $\frac{x^2}{16}-\frac{y^2}{9}=1$，属于焦点在 $x$ 轴上的标准双曲线。

• 易得 $a^2=16⟹a=4$， $b^2=9⟹b=3$；
• 计算半焦距 $c$： $c=\sqrt{a^2+b^2}=\sqrt{16+9}=\sqrt{25}=5$。

由此可确定双曲线的关键特征点：

• 右顶点坐标为： $A_2(4,0)$；
• 左焦点坐标为： $F_1(-5,0)$。

第二步：确定抛物线的顶点、焦点及开口方向 根据题意，所求抛物线满足：

• 顶点 $V(4,0)$；
• 焦点 $F(-5,0)$。

由于顶点 $V$ 和焦点 $F$ 的纵坐标均为 0，说明抛物线的对称轴为 $x$ 轴（直线 $y=0$）。 因为焦点横坐标 $-5$ 小于顶点横坐标 $4$（焦点在顶点的左侧），所以该抛物线开口向左。

第三步：计算焦参数并构建抛物线方程 设开口向左、顶点在原点时的基本抛物线参数为 $p$（ $p$ 代表焦点到准线的距离）。 根据抛物线几何几何性质，顶点到焦点的距离等于 $\frac{p}{2}$： $\frac{p}{2}=|VF|=4-(-5)=9⟹p=18$ 由此可得 $2p=2\times 18=36$。

因为该抛物线的顶点在 $(4,0)$ 处，相比于标准原点进行了平移，其方程结构为： $y^2=-2p(x-4)$ 代入 $2p=36$ 展开整理： $y^2=-36(x-4)\text{或}{y}^2=-36x+144$

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：双曲线基本量 $a,b,c$ 的求算；抛物线顶点、焦点相对空间位置对开口方向的判定；平移型抛物线标准方程的代数重构。
2. 核心方法：几何性质对应法。
3. 避坑指南：

   • 开口方向视错导致正负号颠倒陷阱：部分学生算得 $\frac{p}{2}=9⟹2p=36$ 后，由于没有在数轴上明确顶点 $(4,0)$ 与焦点 $(-5,0)$ 的前后位置，习惯性误写成开口向右的 $y^2=36(x-4)$。务必牢记：焦点永远在抛物线开口的“内部包裹区域”，由 $x_F<x_V$ 必能唯一锁定开口向左，方程对应负号。

   • 平移项左右颠倒陷阱：顶点为 $(4,0)$ 时，自变量变形是 $(x-4)$，而不是 $(x+4)$，注意左加右减的平移原则。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 本题属于圆锥曲线板块中跨曲线几何性质的综合题，考查由双曲线顶点、焦点构造抛物线的平移规律。

2. 结论推广: 【双抛异心几何重构定理】 设标准双曲线 $\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1(a>0,b>0,c=\sqrt{a^2+b^2})$，若构建一抛物线，其顶点锁定为该双曲线的右顶点，焦点锁定为该双曲线的左焦点：

• 抛物线顶点为 $(a,0)$，焦点为 $(-c,0)$，由于 $-c<a$ 恒成立，该抛物线恒开口向左；
• 顶点到焦点的绝对距离恒满足： $\frac{p}{2}=a-(-c)=a+c$；
• 通用标准大招方程： $y^2=-4(a+c)(x-a)$
• 本题切合点：本题中 $a=4,c=5$。直接代入推广通式秒杀： $y^2=-4(4+5)(x-4)=-36(x-4)$ 利用此推广定理，未来无论双曲线的参数如何变动，均可直接利用 $a+c$ 组合元瞬时口算输出对应的抛物线平移方程。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 18.02 双曲线专题全总结

类题演练 (Links)

• 1998-全国卷文-16 填-双曲线顶点焦点与圆
• 1977-山西-07 解-抛物线的标准方程
• 1983-全国文-02 单-抛物线的焦点位置