2003-北京卷理-11 填-函数的奇偶性定义

本题导读

本题考查函数奇偶性的判定。核心意图在于测试学生利用奇偶性的解析式定义 $f(-x)=f(x)$，对常规初等函数、分段函数以及三角函数的对称性进行严密校验。

📌【题干】

Question

（2003年北京卷(理)） 11. 函数 $f(x)=\lg (1+x^2)$， $g(x)=\{\begin{array}{ll}x+2,& x<-1\\ 0,& |x|\le 1\\ -x+2,& x>1\end{array}$， $h(x)=\tan 2x$ 中，$\underline{}$_是偶函数.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 校验 $f(x)$：确定定义域，计算 $f(-x)$ 并与 $f(x)$ 比较。

2. 校验 $g(x)$：确定定义域，对自变量 $x$ 在不同区间分布下的 $-x$ 表达式进行映射对应，检验是否满足 $g(-x)=g(x)$。

3. 校验 $h(x)$：利用正切函数的性质 $\tan (-k)=-\tan k$，检验其奇偶性。

✅【答案】

Success

$f(x)$ 和 $g(x)$

✍【详细解析】

Abstract

第一步：检验函数 $f(x)=\lg (1+x^2)$ 的奇偶性

• 定义域：由 $1+x^2\ge 1>0$ 知，定义域为 $\mathbf{R}$，关于原点对称。
• 计算 $f(-x)$： $f(-x)=\lg \left[1+(-x{)}^2\right]=\lg (1+x^2)=f(x)$ 满足 $f(-x)=f(x)$，故 $f(x)$ 是偶函数。

第二步：检验函数 $g(x)$ 的奇偶性

• 定义域：由各分段区间并集知，定义域为 $\mathbf{R}$，关于原点对称。
• 计算 $g(-x)$：
  • 当 $x<-1$ 时， $-x>1$，则 $g(-x)=-(-x)+2=x+2=g(x)$；
  • 当 $|x|\le 1$ 时， $|-x|\le 1$，则 $g(-x)=0=g(x)$；
  • 当 $x>1$ 时， $-x<-1$，则 $g(-x)=(-x)+2=-x+2=g(x)$。 在整个定义域内均满足 $g(-x)=g(x)$，故 $g(x)$ 是偶函数。

第三步：检验函数 $h(x)=\tan 2x$ 的奇偶性

• 定义域： $2x\ne k\pi +\frac{\pi }{2}⟹x\ne \frac{k\pi }{2}+\frac{\pi }{4}(k\in \mathbf{Z})$，关于原点对称。
• 计算 $h(-x)$： $h(-x)=\tan [2(-x)]=\tan (-2x)=-\tan 2x=-h(x)$ 满足 $h(-x)=-h(x)$，故 $h(x)$ 是奇函数，不是偶函数。

综上所述， $f(x)$ 和 $g(x)$ 是偶函数。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：函数奇偶性的代数判定；分段函数在对称区间上的奇偶性讨论。
2. 核心方法：奇偶性定义检验法。
3. 避坑指南：

   • 分段函数区间代换错位陷阱：在检验 $g(-x)$ 时，必须将定义域内的 $x$ 替换为 $-x$，对应的区间限制也必须同步进行负号代换（例如把 $x>1$ 分支的代入转换到 $x<-1$ 分支去读取公式），切忌主观判定分段函数不具备奇偶性。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 本题属于基础的函数奇偶性辨析题，考查分段函数关于原点、坐标轴对称性的判定。

2. 结论推广: 【分段函数中心对称定理】 对于形如 $g(x)=\{\begin{array}{ll}\varphi (x),& x<-a\\ c,& |x|\le a\\ \psi (x),& x>a\end{array}$ 的分段函数：

• 若 $\varphi (x)=\psi (-x)$ 恒成立，则该分段函数 $g(x)$ 必为偶函数；
• 若 $\varphi (x)=-\psi (-x)$ 且 $c=0$ 恒成立，则该分段函数 $g(x)$ 必为奇函数。 本题中 $\varphi (x)=x+2$， $\psi (-x)=-(-x)+2=x+2$，两项完全相等，根据推广律可瞬时判定其为偶函数。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 05.02 函数的四大性质

类题演练 (Links)

• 1987-广东文-24 单-函数的奇偶性
• 1987-广东理-23 单-函数的奇偶性
• 1988-上海-13 单-函数的奇偶性