2003-北京卷理-10 单-矩阵与邻接矩阵的代数抽象

本题导读

本题是一道构思新颖的抽象代数与组合计数信息迁移选择题。核心意图在于测试学生对双重下标变元 $a_{ij}$ 赋权规则的空间转换能力，要求学生将现实中的投票赞成（1）与反对（0）逻辑，抽象为代数中的乘法和加法算子，定量表达多重条件同时成立的复合人数规模。

📌【题干】

Question

（2003年北京卷(理)） 10. 某班试用电子投票系统选举班干部候选人. 全班 $k$ 名同学都有选举权和被选举权，他们的编号分别为 $1,2,\dots ,k$，规定：同意按“1”，不同意（含弃权）按“0”，令 $a_{ij}=\{\begin{array}{ll}1,& \text{第 }i\text{ 号同学同意第 }j\text{ 号同学当选}\\ 0,& \text{第 }i\text{ 号同学不同意第 }j\text{ 号同学当选}\end{array}$ 其中 $i=1,2,\dots ,k$，且 $j=1,2,\dots ,k$，则同时同意第 1，2 号同学当选的人数为()

A. $a_{11}+a_{12}+\cdots +a_{1k}+a_{21}+a_{22}+\cdots +a_{2k}$

B. $a_{11}+a_{21}+\cdots +a_{1k}+a_{12}+a_{22}+\cdots +a_{k2}$

C. $a_{11}{a}_{12}+a_{21}{a}_{22}+\cdots +a_{k1}{a}_{k2}$

D. $a_{11}{a}_{21}+a_{12}{a}_{22}+\cdots +a_{1k}{a}_{2k}$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 理清下标逻辑涵义：

   • 第一个下标 $i$ 代表投票人的编号；
   • 第二个下标 $j$ 代表**被投票（候选人）**的编号。

2. 分析“同时同意”的逻辑乘结构：

   • 题目要求寻找的是某个确定的投票人 $i$，他同时同意 1 号和 2 号候选人。
   • 意味着对这个特定的 $i$ 号同学，必须满足 $a_{i1}=1$ 且 $a_{i2}=1$。
   • 由于 $a_{ij}$ 的取值只能是 0 或 1，在布尔代数和信息科学中，“且”逻辑对应乘法：
     • 若 $a_{i1}=1$ 且 $a_{i2}=1$，则乘积 $a_{i1}\cdot a_{i2}=1\times 1=1$（代表该生符合条件）；
     • 若其中任何一个不同意（为0），则乘积 $a_{i1}\cdot a_{i2}=0$（代表该生不符合条件）。

3. 全班累加计数： 将全班所有同学（ $i$ 从 1 变动到 $k$）的这一乘积标志量进行累加，求得的总和即为符合要求的同时同意人数。

✅【答案】

Success

C

✍【详细解析】

Abstract

第一步：分析单个同学投票的代数逻辑特征 根据题目给定的 0-1 赋值规则，对于任意一名同学 $i(i=1,2,\dots ,k)$：

• 他对 1 号候选人的态度由 $a_{i1}$ 决定；
• 他对 2 号候选人的态度由 $a_{i2}$ 决定。

我们要筛选出“同时同意第 1，2 号同学当选”的人。利用 0-1 变量的乘法特性考察乘积表达式 $a_{i1}{a}_{i2}$：

• 只有当 $i$ 号同学对 1 号和 2 号均按“1”（同意）时，才有 $a_{i1}{a}_{i2}=1\times 1=1$；
• 只要 $i$ 号同学对 1 号或 2 号中任意一人按“0”（不同意或弃权），则乘积 $a_{i1}{a}_{i2}$ 必然包含因子 0，结果恒为 0。 因此， $a_{i1}{a}_{i2}=1$ 与 “ $i$ 号同学同时同意 1, 2 号候选人” 构成了完美的充要条件。

第二步：遍历全班同学进行累加求和 全班共有 $k$ 名同学，他们的编号 $i$ 顺次为 $1,2,\dots ,k$。 每一名同学是否符合“同时同意”的标志量分别为： $a_{11}{a}_{12},a_{21}{a}_{22},a_{31}{a}_{32},\dots ,a_{k1}{a}_{k2}$ 将全班所有人的标志量进行加和，得到的代数式即为满足要求的总人数： $N=a_{11}{a}_{12}+a_{21}{a}_{22}+\cdots +a_{k1}{a}_{k2}$

对照各选项的代数结构，这正好契合 (C) 选项。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：邻接矩阵元素 $a_{ij}$ 前后下标的自变量控制；0-1 状态的算术乘法表征逻辑共存（与门）。
2. 核心方法：双重下标解析法、特殊赋值检验法。
3. 避坑指南：

   • 前后下标指代颠倒陷阱：本题最经典的错误是错选 (D)。 (D) 选项的每一项是 $a_{1k}{a}_{2k}$ 形式（第一个下标在变，第二个下标固定为 $k$）。按照定义， $a_{1k}{a}_{2k}$ 表示的是 1 号和 2 号同学同时投给候选人 $k$ 的票数，最后加和表示的是“ 1 号和 2 号同学共同投赞成票的候选人个数”，这与题目要求的“投给 1, 2 号候选人的人数”完全相反。必须时刻死盯主被动关系：前下标控人（行），后下标控候选人（列）。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 本题属于超前的信息应用与代数建模题。其高等数学背景直接来源于离散数学中的图论邻接矩阵（Adjacent Matrix）与线性代数中的矩阵乘法内积。投票系统构成了一个从“选举人集合”向“候选人集合”的有向图，同时同意两人当选，在高等代数中对应着邻接矩阵两条列向量的内积运算（线性的逻辑乘加）。

2. 结论推广: 【多候选人联合赞成票计数定理】 在一个由 $m$ 个投票人对 $n$ 个候选人进行的 0-1 矩阵投票系统 $A_{m\times n}$ 中：

• 任意指定 $p$ 个候选人（编号分别为 $j_1,j_2,\dots ,j_p$）同时获得联合赞成的总人数 $N$： 满足对矩阵对应列向量按行元素进行多元齐次逻辑累乘： $N={\sum }_{i=1}^m\left(a_{i,j_1}\cdot a_{i,j_2}\dots a_{i,j_p}\right)$
• 任意指定两个选举人（编号为 $i_1,i_2$）共同投票意见完全契合的候选人总数 $M$： 满足对矩阵对应行向量进行多元齐次列求和： $M={\sum }_{j=1}^n\left(a_{i_1,j}\cdot a_{i_2,j}\right)$ 利用这一广义矩阵运算通则，未来无论面对多么复杂的联合选举人数判定（如“同时同意 1, 2, 3 号当选的人数”），均可直接通过行不动、列相乘的求和规则直接秒杀。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 22.01 计数原理、排列与组合

类题演练 (Links)

• 1981-全国文-03 解-排列与组合的计数
• 1985-全国文-05 单-排列计数（五位数）
• 1985-广东文-20 单-受限排列计数