本题导读
本题考查排列组合的实际应用。核心意图在于测试学生利用计数原理解决受到“特殊元素必须入选”以及“位置相异（不同土质土地）具有顺序性”双重约束的排列组合问题，考查分步处理的逻辑严密性。
📌【题干】
Question
（2003年北京卷(理)） 8. 从黄瓜、白菜、油菜、扁豆 4 种蔬菜品种中选出 3 种，分别种在不同土质的三块土地上，其中黄瓜必须种植，不同的种植方法共有()
A. 24 种 B. 18 种 C. 12 种 D. 6 种
🔍【思路分析】
破题导航
- 审清核心约束条件：
- 元素总量：共 4 种蔬菜，目标选出 3 种。
- 特殊限制：黄瓜必须种植。
- 位置特征：三块土地“土质不同”，意味着选出的 3 种蔬菜种植在土地上具有顺序性（即属于排列问题，而非单纯的组合选拔）。
- 方法一（元素优先法）：
- 第一步：选拔元素。黄瓜已定入选，还需从剩下的 3 种蔬菜（白菜、油菜、扁豆）中任意挑选出 种，方法数为 。
- 第二步：空间排列。此时选出的 3 种蔬菜（含黄瓜）向三块不同的土地进行全排列，方法数为 。两步相乘即得总数。
- 方法二（位置优先法）：
第一步：安放特殊元素。黄瓜必须种植，由于三块土地不同，优先为黄瓜挑选一块土地，方法数为 。
第二步：填充其余位置。剩下的两块土地从其余 3 种蔬菜中选 2 种进行有顺序的排列种植，方法数为 。两步相乘即得总数。
✅【答案】
Success
B
✍【详细解析】
Abstract
利用方法一（元素优先法）进行分步计算：
第一步：挑选入选的蔬菜品种（组合阶段） 题目要求从黄瓜、白菜、油菜、扁豆 4 种蔬菜中选出 3 种，且规定黄瓜必须种植。 这意味着，确定入选的 3 种蔬菜品种中，黄瓜已经占据了 1 个确定名额。 剩下的 2 个蔬菜名额必须从其余的 3 种蔬菜（白菜、油菜、扁豆）中选出。 挑选蔬菜生产品种的组合数为：
第二步：分配到不同的土地上（排列阶段） 将挑选出的 3 种蔬菜（包括黄瓜以及挑出的另外 2 种）种植在不同土质的三块土地上。 由于三块土地的土质不同，互换位置属于不同的种植方案，因此这是一个全排列问题。 分配的排列数为：
第三步：应用分步乘法计数原理求和 完成整个种植流程需要先选品种再安排土地，属于连续分步事件。总种植方法数为：
💡【考点归纳与避坑指南】
Danger
- 核心考点：特殊元素/位置优先处理原则；组合选拔与元素排列的顺次结合（先组后排）。
- 核心方法：元素优先排列法、位置优先分析法。
- 避坑指南：
混淆排列与组合陷阱：部分学生只计算了 或 ，漏掉了三块土地“不同土质”带来的顺序分配要求，从而误选。做排列组合题时，必须第一时间审清位置是否有别：土地、座位、职务等互不相同，一律在选拔后再作排列 。
重复计数陷阱：若采用先为黄瓜挑土地，再让剩下的蔬菜乱选，容易因逻辑界限不清导致重复。推荐采用“先组合选出所有成员，再对所有成员进行全排列”的“先组后排法”，逻辑最不易出错。
📖【试题探源与推广】
Tip
试题探源: 本题属于排列组合经典应用题，考查限制条件下的分配计数。
结论推广: 【含特殊元素限制的通用分配定理】 从 个不同的元素中选出 个元素，分配到 个不同的位置上，若规定其中 个指定特殊元素必须全部入选，则通用的不同分配方案数 满足：
- 本题切合点：本题中总元素 （4种蔬菜），位置数 （三块地），特殊必选元素 （黄瓜必选）。代入推广通式： 利用该模型，未来无论遇到“某几人必须入选并担任不同职务”还是“某几种产品必须上架并陈列在不同展位”等变式题，均可直接套用该大招公式一式直出答案。
🔗【关联脉络】
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