2003-北京卷理-06 单-复数的几何意义

本题导读

本题考查复数模长的几何意义以及复平面内的几何最值问题。核心意图在于测试学生将复数的模长条件转换为复平面上的动态几何拓扑模型，通过构造圆与外置定点，利用三点共线定理定量求解距离的极值。

📌【题干】

Question

（2003年北京卷(理)） 6. 若 $z\in \mathbf{C}$ 且 $|z+2-2\mathrm{i}|=1$，则 $|z-2-2\mathrm{i}|$ 的最小值是()

A. 2　　　　　　　B. 3　　　　　　　C. 4　　　　　　　D. 5

🔍【思路分析】

破题导航

1. 解析已知条件（圆的模型）：将已知条件变形为 $|z-(-2+2\mathrm{i})|=1$。根据复数减法的几何意义，这表示动点 $z$ 到定点 $C(-2,2)$ 的距离恒等于 1。因此，动点 $z$ 的轨迹是以 $C(-2,2)$ 为圆心、半径 $R=1$ 的圆。

2. 解析待求目标（距离模型）：将目标式变形为 $|z-(2+2\mathrm{i})|$。这表示圆上的动点 $z$ 到另一个已知定点 $A(2,2)$ 的空间距离。

3. 数形结合求最值：计算圆心 $C(-2,2)$ 到外置定点 $A(2,2)$ 的距离 $|CA|$。当动态复数点 $z$ 运动到连线 $CA$ 与圆的交点位置（靠近点 $A$ 一侧）时，距离取得最小值，即 $d_{\min }=|CA|-R$。

✅【答案】

Success

B

✍【详细解析】

Abstract

第一步：确定动点 $z$ 的轨迹几何模型 将已知方程进行标准减法结构提取： $|z-(-2+2\mathrm{i})|=1$ 在复平面内，这表示动点 $z$ 到定点 $C(-2,2)$ 的距离恒等于 1。 所以，点 $z$ 的轨迹是以 $C(-2,2)$ 为圆心，半径 $R=1$ 的圆。

第二步：明确目标代数式的几何意义 目标求值式为： $|z-(2+2\mathrm{i})|$ 在复平面内，这表示圆 $C$ 上的动点 $z$ 到定点 $A(2,2)$ 的距离。

第三步：计算两定点间的距离 由于两定点坐标分别为 $C(-2,2)$， $A(2,2)$（它们的纵坐标均为 2，位于平行于 $x$ 轴的同一水平线上），利用两点间距离公式： $|CA|=\sqrt{[2-(-2){]}^2+(2-2{)}^2}=\sqrt{4^2+0^2}=4$

第四步：数形结合求解极小值 根据平面几何特征，外置定点 $A$ 到圆 $C$ 上动点的最短距离发生在点 $A$、动点 $z$、圆心 $C$ 三点共线时： $|z-(2+2\mathrm{i}){|}_{\min }=|CA|-R=4-1=3$

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：复数模长 $|z-z_0|$ 对应两点间距离的几何映射；圆外定点到圆上动点距离的最值公式。
2. 核心方法：数形结合法。
3. 避坑指南：

   • 符号混乱导致圆心看错陷阱：部分学生在提取圆心和定点坐标时，由于对减法结构不熟练，错将 $|z+2-2\mathrm{i}|=1$ 的圆心误看成 $(2,-2)$。牢记公式：复数距离必须严格套用“减号”外提格式，即 $|z-z_0|$，减号后面的复数 $z_0=x_0+y_0\mathrm{i}$ 才是对应的平面几何点 $(x_0,y_0)$。

   • 代数盲目硬算陷阱：设 $z=x+y\mathrm{i}$ 带入方程强行去根号化简，会导致产生繁琐的二元二次条件极值，计算极易出错。看到含有多个复数模长加减的题目，90% 优先使用复平面几何数形结合，可实现秒杀。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 本题属于基础的复数几何最值模型，考查复数模的几何意义与三角不等式。对于任意复数 $z,z_1,z_2$，根据三角不等式有： $|z_1-z_2|\le |z_1-z|+|z-z_2|⟹|z-z_2|\ge |z_1-z_2|-|z_1-z|$ 题目正是利用这一距离下界来设计考题。

2. 结论推广: 【复数圆型距离最值通用定理】 对于任意满足圆轨迹方程 $|z-z_1|=R$ 的复数，其到空间任意定点 $z_2$（满足 $|z_1-z_2|>R$）的距离取值范围严格被锁定在闭区间内： $|z-z_2|\in [|z_1-z_2|-R,|z_1-z_2|+R]$

• 最值快捷输出式：
  • 最小值： $d_{\min }=|z_1-z_2|-R$
  • 最大值： $d_{\max }=|z_1-z_2|+R$ 本题中 $z_1=-2+2\mathrm{i},z_2=2+2\mathrm{i},R=1$。直接代入几何特征距离 $|z_1-z_2|=|4|=4$，直接口算输出最小值 $4-1=3$，最大值 $4+1=5$。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 12.01 数系的扩充与复数

类题演练 (Links)

• 1986-上海文-19 单-复数模与平方
• 1986-上海理-18 单-复数模与平方
• 1987-全国文-17 解-复数的几何意义与运算