2003-北京卷理-04 单-空间中直线与平面的位置关系

本题导读

本题考查立体几何中线面、面面的平行与垂直命题判定。核心意图在于测试学生对空间点、线、面位置关系的核心性质定理与判定定理的掌握熟练度，要求能够准确识别定理成立的边界条件，并能对不正确命题快速构建反例。

📌【题干】

Question

（2003年北京卷(理)） 4. 已知 $\alpha ,\beta$ 是平面， $m,n$ 是直线. 下列命题中不正确的是()

A. 若 $m\parallel n,m\perp \alpha$，则 $n\perp \alpha$　　　　　　　　B. 若 $m\parallel \alpha ,\alpha \cap \beta =n$，则 $m\parallel n$

C. 若 $m\perp \alpha ,m\perp \beta$，则 $\alpha \parallel \beta$　　　　　　　　　D. 若 $m\perp \alpha ,m\subset \beta$，则 $\alpha \perp \beta$

🔍【思路分析】

破题导航

1. (A) 选项：考查平行线同向性。两条平行线中的一条垂直于一个平面，则另一条也必垂直于该平面。属于线面垂直的性质定理。

2. (B) 选项：考查线面平行的性质。一条直线平行于一个平面，若过该直线的另一个平面与已知平面相交，则该直线平行于交线。需注意命题中并未限制直线 $m$ 的空间约束平面，应校验是否存在异面或平行的非交线情况。

3. (C) 选项：考查面面平行的判定。垂直于同一条直线的两个平面互相平行。属于面面平行的判定定理。

4. (D) 选项：考查面面垂直的判定。若一个平面内包含一条垂直于另一个平面的直线，则这两个平面互相垂直。属于面面垂直的判定定理。

✅【答案】

Success

B

✍【详细解析】

Abstract

逐项校验各空间几何命题：

• 析 (A) 选项：正确 根据立体几何中的线面垂直性质定理：若两条平行直线 $m\parallel n$ 中的一条 $m$ 垂直于平面 $\alpha$，则另一条直线 $n$ 也必然垂直于该平面 $\alpha$。命题正确。

• 析 (B) 选项：错误 根据线面平行的性质定理：一条直线 $m$ 平行于平面 $\alpha$，必须满足经过直线 $m$ 的平面 $\beta$ 与平面 $\alpha$ 相交于 $n$ 时，才能推出 $m\parallel n$。 本题题干仅给定 $m\parallel \alpha$ 且两平面 $\alpha \cap \beta =n$，并没有限制直线 $m$ 必须在平面 $\beta$ 内。

  • 反例构建：设直线 $m$ 在平面 $\beta$ 外，且直线 $m$ 平行于平面 $\beta$，同时 $m$ 也平行于平面 $\alpha$。此时，直线 $m$ 与交线 $n$ 的空间位置关系是平行；但若直线 $m$ 在平面 $\beta$ 内且与交线 $n$ 异面，由于 $m\parallel \alpha$， $m$ 与 $\alpha$ 无交点，而 $n\subset \alpha$，故 $m$ 与 $n$ 绝无交点。然而，在平面 $\beta$ 内与 $n$ 无交点的直线 $m$ 必然与 $n$ 平行。
  • 真正反例：若直线 $m$ 处于空间中独立于 $\alpha ,\beta$ 的其他位置，使得 $m\parallel \alpha$，此时平面 $\beta$ 绕交线 $n$ 旋转，可以使 $m$ 与平面 $\beta$ 相交，此时 $m$ 与 $n$ 显然构成异面直线。因此，由已知条件不能推出 $m\parallel n$。命题错误。

• 析 (C) 选项：正确 根据立体几何中的面面平行判定定理（或性质延展）：垂直于同一条直线 $m$ 的两个平面 $\alpha$ 与 $\beta$ 互相平行。命题正确。

• 析 (D) 选项：正确 根据立体几何中的面面垂直判定定理：如果一个平面 $\beta$ 经过另一个平面 $\alpha$ 的一条垂线 $m$（即 $m\perp \alpha$ 且 $m\subset \beta$），那么这两个平面互相垂直（ $\alpha \perp \beta$）。命题正确。

由于题目要求选择“不正确”的命题。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：线面平行性质定理的成立条件；面面垂直与面面平行的判定定理。
2. 核心方法：空间几何定理直接判定法、反例排除法。
3. 避坑指南：

   • 性质定理条件不全陷阱： (B) 选项是立体几何中极易出错的经典陷阱。很多学生一看到“直线平行于平面，平面与平面相交”就会惯性联想到性质定理。请务必牢记：线面平行的性质定理中，已知直线必须属于其中一个相交平面（即满足“线在面内”），才能精准输出“线线平行”的结论。缺少这一层约束，两条直线在空间中极易发生旋转从而变成异面关系。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 本题属空间位置关系的概念辨析题，源于立体几何教材中判定定理与性质定理的逆否命题或条件弱化变式。

2. 结论推广: 【空间线面平行失效判定准则】 设直线 $m$ 的方向向量为 $\vec{u}$，交线 $n$ 的方向向量为 $\vec{\nu }$，平面 $\alpha$ 的法向量为 ${\vec{n}}_{\alpha }$，平面 $\beta$ 的法向量为 ${\vec{n}}_{\beta }$：

• $m\parallel \alpha ⟹\vec{u}\cdot {\vec{n}}_{\alpha }=0$；
• $\alpha \cap \beta =n⟹\vec{\nu }={\vec{n}}_{\alpha }\times {\vec{n}}_{\beta }$。 根据向量代数，要使 $m\parallel n⟺\vec{u}=\lambda \vec{\nu }=\lambda ({\vec{n}}_{\alpha }\times {\vec{n}}_{\beta })$。 显然，由一个单独的内积为零条件 $\vec{u}\cdot {\vec{n}}_{\alpha }=0$，在没有增加 $\vec{u}\cdot {\vec{n}}_{\beta }=0$（即 $m\parallel \beta$ 或 $m\subset \beta$）的限制下，绝对无法唯一解出向量叉积的方向。这从现代向量代数几何的高度，彻底解释了 (B) 选项由于自由度不足而必然失效的根本原因。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 16.03 两条直线的位置关系判定

类题演练 (Links)

• 1977-内蒙古文-03 解-直线的平行与垂直
• 2004-北京卷文-03 单-线面位置关系判断
• 1985-广东理-29 单-空间直线的位置关系命题