2003-北京卷理-02 单-指数幂的运算性质

本题导读

本题考查指数幂的化简与指数函数单调性的应用。核心意图在于测试学生利用幂的运算性质将不同底数的指数式统一转化为以 2 为底的空间模型，进而利用增函数的单调性定量判定数值的大小关系。

📌【题干】

Question

（2003年北京卷(理)） 2. 设 $y_1=4^{0.9}$， $y_2=8^{0.44}$， $y_3={\left(\frac{1}{2}\right)}^{-1.5}$ ，则()

A. $y_3>y_1>y_2$　　　　　　　　　　　　　　　B. $y_2>y_1>y_3$

C. $y_1>y_2>y_3$　　　　　　　　　　　　　　　D. $y_1>y_3>y_2$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 统一底数：观察发现三个指数式的底数 4，8，$\frac{1}{2}$ 均为 2 的整数次幂。利用幂的乘方性质 $(a^m{)}^n=a^{mn}$ 以及倒数性质 $a^{-n}=\frac{1}{a^n}$，将 $y_1,y_2,y_3$ 统一化为以 2 为底的指数幂形式。

2. 利用单调性比较：构建指数函数 $y=2^x$。由于底数 $2>1$，该函数在 $\mathbf{R}$ 上单调递增。通过比较三个化简后指数的大小，直接确定 $y_1,y_2,y_3$ 的大小顺序。

✅【答案】

Success

D

✍【详细解析】

Abstract

第一步：统一底数为 2 利用指数幂运算性质分别对三个数值进行变形化简：

• $y_1=4^{0.9}=(2^2{)}^{0.9}=2^{2\times 0.9}=2^{1.8}$
• $y_2=8^{0.44}=(2^3{)}^{0.44}=2^{3\times 0.44}=2^{1.32}$
• $y_3={\left(\frac{1}{2}\right)}^{-1.5}=(2^{-1}{)}^{-1.5}=2^{(-1)\times (-1.5)}=2^{1.5}$

第二步：比较指数大小 对比三个指数的大小关系，显然有： $1.8>1.5>1.32$

第三步：利用单调性得出结论 考查指数函数 $y=2^x$。因为底数 $2>1$，所以函数 $y=2^x$ 在 $\mathbf{R}$ 上严格单调递增。 根据单调递增性质，自变量越大，函数值越大，故： $2^{1.8}>2^{1.5}>2^{1.32}$ 代回原表达式即得： $y_1>y_3>y_2$

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：底数幂的齐次化转换；指数函数单调性的区间保序特征。
2. 核心方法：同底数比较法。
3. 避坑指南：

   • 负指数幂化简符号陷阱：在化简 $y_3={\left(\frac{1}{2}\right)}^{-1.5}$ 时，注意分数的负指数运算， ${\left(\frac{1}{2}\right)}^{-1}=2$，避免符号相乘或运算时漏掉负号。

   • 盲目估算陷阱：部分学生不进行精确的同底转化，主观通过底数大小猜测 $8^{0.44}$ 大于 $4^{0.9}$。处理此类题型时，必须优先寻找公有基底（如 2, 3, 5 等），转化为同底数或同指数形式再作判定。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 本题属于经典的指数幂大小比较题，考查同底数指数幂的运算与单调性判定。

2. 结论推广: 【同底数指数幂比较通则】 对于形如 $y_i=(b_i{)}^{x_i}(i=1,2,\dots ,n)$ 的指数比较问题，若各底数满足 $b_i=a^{m_i}(a>0,a\ne 1)$，则可将其一律转化为以 $a$ 为底的复合幂： $y_i=a^{m_i\cdot x_i}$ 定义广义指数特征数 ${\lambda }_i=m_i\cdot x_i$：

• 当 $a>1$ 时， $y_i$ 的大小顺序与 ${\lambda }_i$ 的大小顺序完全正相关；
• 当 $0<a<1$ 时， $y_i$ 的大小顺序与 ${\lambda }_i$ 的大小顺序完全负相关。 本题中 $a=2>1$，特征数 ${\lambda }_1=1.8,{\lambda }_2=1.32,{\lambda }_3=1.5$。由 $a>1$ 具有正相关保序性，直接通过 ${\lambda }_1>{\lambda }_3>{\lambda }_2$ 输出 $y_1>y_3>y_2$。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 04.01 指数与对数运算

类题演练 (Links)

• 1977-内蒙古文-01 解-代数运算与三角
• 1977-内蒙古理-01 解-代数运算与极坐标
• 1977-辽宁-03 解-指数与对数运算