2003-北京文-07 单-圆台侧面积比

本题导读

本题考查圆台的侧面积，以及轴截面面积的计算。

📌【题干】

Question

（2003年北京卷(文)） 如果圆台的母线与底面成 $60^{\circ }$ 角，那么这个圆台的侧面积与轴截面面积的比为()

A. $2\pi$　　　　　　　B. $\frac{3}{2}\pi$　　　　　　　C. $\frac{2\sqrt{3}}{3}\pi$　　　　　　　D. $\frac{1}{2}\pi$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 侧面积 $\pi (r+R)l$；轴截面是等腰梯形，高为 $l\sin 60^{\circ }$。
2. 轴截面面积 $(r+R)\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}l$，作比。

✅【答案】

Success

C

✍【详细解析】

Abstract

设母线长为 $l$，上、下底面半径为 $r$、$R$.侧面积 $S_{侧}=\pi (r+R)l$.轴截面是等腰梯形，其高 $h=l\sin 60^{\circ }=\frac{\sqrt{3}}{2}l$，面积 $S_{轴}=\frac{2r+2R}{2}\cdot h=(r+R)\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}l$.所以 $\frac{S_{侧}}{S_{轴}}=\frac{\pi (r+R)l}{(r+R)\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}l}=\frac{2\pi }{\sqrt{3}}=\frac{2\sqrt{3}}{3}\pi$，选 C

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：圆台侧面积比
2. 核心方法：设母线 $l$，侧面积 $S_{侧}=\pi (r+R)l$，轴截面为等腰梯形，高 $h=l\sin 60^{\circ }=\frac{\sqrt{3}}{2}l$，面积 $S_{轴}=(r+R)\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}l$，故比值为 $\frac{2\pi }{\sqrt{3}}=\frac{2\sqrt{3}}{3}\pi$
3. 避坑指南：轴截面高是 $l\sin \theta$ 而非 $l$；比值与 $r$、$R$ 无关

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 源于教材旋转体的侧面积
2. 结论推广: 一般地，圆台侧面积与轴截面面积之比只与母线与底面夹角有关；用母线 $l$ 表示两个量，比值约去公共因子

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 13.01 空间几何体的结构、表面积与体积

类题演练 (Links)

• 2013-四川卷文-02 单-三视图圆台
• 2013-湖北卷文-16 填-圆台测雨
• 2014-陕西卷文-05 单-旋转体侧面积