2003-全国卷理-21 解-坐标法与直线的方程

本题导读

本题是一道解析几何压轴题，考查由比例条件确定动点 $P$ 的轨迹方程。关键是引入参数 $k$，写出直线 $GE$ 和 $OF$ 的方程，联立消去 $k$ 得轨迹方程，再用椭圆定义判定定点，并对长短轴相对大小分类讨论。

📌【题干】

Question

（2003年广东卷） 已知常数 $a>0$，在矩形 $ABCD$ 中，$AB=4$，$BC=4a$，$O$ 为 $AB$ 的中点，点 $E、F、G$ 分别在 $BC、CD、DA$ 上移动，且 $\frac{BE}{BC}=\frac{CF}{CD}=\frac{DG}{DA}$，$P$ 为 $GE$ 与 $OF$ 的交点（如图），问是否存在两个定点，使 $P$ 到这两点的距离的和为定值？若存在，求出这两点的坐标及此定值；若不存在，请说明理由.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 写出顶点坐标：根据题目中已建好的直角坐标系，由 $O(0,0)$ 为 $AB$ 中点， $AB=4,BC=4a$，写出 $A,B,C,D$ 的坐标。

2. 用参数表示动点：令动比例 $\frac{BE}{BC}=\frac{CF}{CD}=\frac{DG}{DA}=k$ ($k\in [0,1]$)。用含 $k$ 和 $a$ 的代数式表示出动点 $E,F,G$ 的坐标。

3. 联立方程消参：求出直线 $GE$ 和 $OF$ 的两点式（或点斜式）方程，得到关于 $x,y,k$ 的方程组，消去参数 $k$，导出动点 $P(x,y)$ 的轨迹方程。

4. 轨迹化简与定义判定：识别出轨迹方程为椭圆标准方程。利用椭圆定义，到两定点（焦点）的距离之和为定值（长轴长 $2M$）。根据参数 $a$ 的不同取值，对椭圆的焦点在 $x$ 轴还是 $y$ 轴进行分类讨论。

✅【答案】

Success

存在。当 $0<a<\frac{\sqrt{2}}{2}$ 时，定点为 $\left(-\frac{\sqrt{2-2a^2}}{2a},1\right)$ 与 $\left(\frac{\sqrt{2-2a^2}}{2a},1\right)$，定值 $\frac{\sqrt{2}}{a}$；当 $a>\frac{\sqrt{2}}{2}$ 时，定点为 $\left(0,1-\frac{\sqrt{2a^2-1}}{\sqrt{2}a}\right)$ 与 $\left(0,1+\frac{\sqrt{2a^2-1}}{\sqrt{2}a}\right)$，定值 $2$；当 $a=\frac{\sqrt{2}}{2}$ 时，退化为圆，定点重合于 $(0,1)$，定值 $2$

✍【详细解析】

Abstract

根据如图建立的平面直角坐标系，由 $O(0,0)$ 为 $AB$ 中点，$AB=4$，$BC=4a$ 可知： $A(-2,0),B(2,0),C(2,4a),D(-2,4a)$

设 $\frac{BE}{BC}=\frac{CF}{CD}=\frac{DG}{DA}=k$，其中 $k\in [0,1]$。 因为 $BC=4a,CD=4,DA=4a$，所以：

• $BE=4ak⟹E$ 的纵坐标为 $4ak$，横坐标为 $2$，即 $E(2,4ak)$。
• $CF=4k⟹F$ 的横坐标为 $2-4k$，纵坐标为 $4a$，即 $F(2-4k,4a)$。
• $DG=4ak⟹G$ 的纵坐标为 $4a-4ak$，横坐标为 $-2$，即 $G(-2,4a-4ak)$。

第一步：求直线 $GE$ 和 $OF$ 的方程

1. 直线 $GE$ 过 $G(-2,4a-4ak)$ 和 $E(2,4ak)$，其斜率为： $k_{GE}=\frac{4ak-(4a-4ak)}{2-(-2)}=\frac{8ak-4a}{4}=2ak-a=a(2k-1)$ 根据点斜式，直线 $GE$ 的方程为： $y-4ak=a(2k-1)(x-2)$ $y-4ak=a(2k-1)x-2a(2k-1)⟹y=a(2k-1)x+2a\text{(1)}$

2. 直线 $OF$ 过 $O(0,0)$ 和 $F(2-4k,4a)$，其方程为： $y=\frac{4a}{2-4k}x⟹y=\frac{2a}{1-2k}x⟹1-2k=\frac{2ax}{y}\text{（当 y=0,k=21 时）}$ 变形得： $2k-1=-\frac{2ax}{y}\text{(2)}$

第二步：消去参数 $k$ 求解动点 $P$ 的轨迹方程 将 ② 式代入 ① 式中： $y=a\cdot \left(-\frac{2ax}{y}\right)x+2a$ $y=-\frac{2a^2{x}^2}{y}+2a$

方程两边同乘以 $y$： $y^2=-2a^2{x}^2+2ay⟹2a^2{x}^2+y^2-2ay=0$

配方整理： $2a^2{x}^2+(y-1{)}^2=1$

写成标准曲线方程形式： $\frac{x^2}{\frac{1}{2a^2}}+\frac{(y-1{)}^2}{1}=1$ (由于 $k\in [0,1]$，经检验动点 $P$ 的轨迹为完整的椭圆)

第三步：结合椭圆定义分类讨论定点坐标 该轨迹是以 $(0,1)$ 为中心的椭圆。根据椭圆第一定义，椭圆上的点到两焦点（定点）的距离之和为定值，且该定值等于长轴长。 对比分母大小，需对 $\frac{1}{2a^2}$ 与 $1$ 的大小关系进行分类讨论：

情况 1：当 $\frac{1}{2a^2}>1$ 即 $0<a<\frac{\sqrt{2}}{2}$ 时 椭圆的焦点在平行于 $x$ 轴的直线 $y=1$ 上。 长半轴平方 $A^2=\frac{1}{2a^2}⟹A=\frac{\sqrt{2}}{2a}$。 短半轴平方 $B^2=1$。 半焦距 $C=\sqrt{A^2-B^2}=\sqrt{\frac{1}{2a^2}-1}=\frac{\sqrt{2-2a^2}}{2a}$。

• 定值（长轴长）为：$2A=\frac{\sqrt{2}}{a}$。
• 两个定点（焦点）坐标为：$\left(-\frac{\sqrt{2-2a^2}}{2a},1\right)$ 和 $\left(\frac{\sqrt{2-2a^2}}{2a},1\right)$。

情况 2：当 $\frac{1}{2a^2}<1$ 即 $a>\frac{\sqrt{2}}{2}$ 时 椭圆的焦点在 $y$ 轴上。 长半轴平方 $A^2=1⟹A=1$。 短半轴平方 $B^2=\frac{1}{2a^2}$。 半焦距 $C=\sqrt{A^2-B^2}=\sqrt{1-\frac{1}{2a^2}}=\frac{\sqrt{2a^2-1}}{\sqrt{2}a}$。

• 定值（长轴长）为：$2A=2$。
• 两个定点（焦点）坐标为：$\left(0,1-\frac{\sqrt{2a^2-1}}{\sqrt{2}a}\right)$ 和 $\left(0,1+\frac{\sqrt{2a^2-1}}{\sqrt{2}a}\right)$。

情况 3：当 $\frac{1}{2a^2}=1$ 即 $a=\frac{\sqrt{2}}{2}$ 时 轨迹方程退化为圆：$x^2+(y-1{)}^2=1$。此时两定点重合为圆心 $(0,1)$，距离之和恒等于直径 $2$（亦可视为焦距为 0 的特殊椭圆，定点为 $\left(0,1\right)$，定值为 $2$）。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：直线的方程，消参法求动点轨迹，椭圆的几何性质（中心、焦点、长短轴判定）。
2. 核心方法：单参数代数消元法。用同一个参数 $k$ 表示成比例变动的几何量，再消去 $k$。
3. 避坑指南：

   • 得到曲线方程后，很多考生会直接默认分母 1 为长半轴平方，从而漏掉对 $\frac{1}{2a^2}$ 与 $1$ 相对大小的讨论，导致漏解。

   • 注意椭圆的中心在 $(0,1)$ 而非原点，写焦点坐标时要把半焦距 $C$ 加到对应的中心坐标分量上。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 本题源于解析几何中“两直线交点的轨迹”这一经典问题。
2. 结论推广: 本题可推广为：在矩形框架内，若两动直线的位置由同一参数线性确定，则其交点的轨迹通常是一条圆锥曲线。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 16.03 两条直线的位置关系判定

类题演练 (Links)

• 1989-广东文-15 单-双曲线的方程
• 1977-内蒙古理-04 解-直线与圆相切
• 1977-吉林-12 解-椭圆标准方程