2003-全国卷理-20 解-空间直角坐标系

本题导读

本题为应用题，建立平面直角坐标系将台风运动及侵袭范围数学化，通过两点间距离公式与动态半径构建关于时间 $t$ 的一元二次不等式，从而求解城市受到台风侵袭的时间点。

📌【题干】

Question

（2003年全国卷(理)） 在某海滨城市附近海面有一台风，据监测，当前台风中心位于城市 $O$（如图）的东偏南 $\theta$ $\left(\theta =\arccos \frac{\sqrt{2}}{10}\right)$ 方向 $300\text{ km}$ 的海面 $P$ 处，并以 $20\text{ km/h}$ 的速度向西偏北 $45^{\circ }$ 方向移动，台风侵袭的范围为圆形区域，当前半径为 $60\text{ km}$，并以 $10\text{ km/h}$ 的速度不断增大，问几小时后该城市开始受到台风的侵袭？

🔍【思路分析】

破题导航

1. 确定初始点坐标：以城市 $O$ 为原点，正东方向为 $x$ 轴正方向，正北方向为 $y$ 轴正方向建立平面直角坐标系。利用 $\theta$ 的余弦值和距离 $300\text{ km}$ 确定点 $P$ 的初始坐标。

2. 构建动态中心坐标：设台风移动时间为 $t$ 小时，台风中心为 $P_t$。由于移动方向为西偏北 $45^{\circ }$，速度为 $20\text{ km/h}$，可确定在 $x$ 轴和 $y$ 轴方向的速度分量，进而写出 $P_t$ 的坐标关于 $t$ 的函数。

3. 建立动态半径与距离的不等式：写出台风侵袭半径 $r(t)$ 关于 $t$ 的表达式。城市 $O(0,0)$ 开始受台风侵袭的临界条件为城市到台风中心的距离 $|O{P}_t|\le r(t)$。

4. 求解不等式：将坐标与半径代入 $|O{P}_t{|}^2\le [r(t){]}^2$，解出关于 $t$ 的一元二次不等式，取正数解的下界。

✅【答案】

Success

$12$ 小时后该城市开始受到台风侵袭

✍【详细解析】

Abstract

以城市 $O$ 为原点，正东方向为 $x$ 轴正方向，正北方向为 $y$ 轴正方向建立平面直角坐标系。

第一步：求台风中心初始位置 $P$ 的坐标 已知 $OP=300$，且 $P$ 在城市 $O$ 的东偏南 $\theta$ 方向。 根据三角函数定义， $P$ 点的初始坐标为 $(300\cos (-\theta ),300\sin (-\theta ))$，即 $(300\cos \theta ,-300\sin \theta )$。 已知 $\cos \theta =\frac{\sqrt{2}}{10}$，由于 $\theta \in \left(0,\frac{\pi }{2}\right)$： $\sin \theta =\sqrt{1-{\cos }^2\theta }=\sqrt{1-{\left(\frac{\sqrt{2}}{10}\right)}^2}=\sqrt{1-\frac{2}{100}}=\sqrt{\frac{98}{100}}=\frac{7\sqrt{2}}{10}$ 代入得 $P$ 的初始坐标为： $x_0=300\times \frac{\sqrt{2}}{10}=30\sqrt{2}$ $y_0=-300\times \frac{7\sqrt{2}}{10}=-210\sqrt{2}$ 即 $P(30\sqrt{2},-210\sqrt{2})$。

第二步：求 $t$ 小时后台风中心 $P_t$ 的坐标及半径 $r(t)$ 台风移动速度为 $v=20\text{ km/h}$，方向为西偏北 $45^{\circ }$。 其在 $x$ 轴正方向的速度分量为 $-20\cos 45^{\circ }=-10\sqrt{2}$。 其在 $y$ 轴正方向的速度分量为 $20\sin 45^{\circ }=10\sqrt{2}$。 则 $t$ 小时后，台风中心 $P_t$ 的坐标为： $P_t(30\sqrt{2}-10\sqrt{2}t,-210\sqrt{2}+10\sqrt{2}t)$

同时，台风侵袭的圆形区域半径 $r(t)$ 随时间变化规律为： $r(t)=60+10t$

第三步：建立并求解不等式 城市 $O(0,0)$ 开始受到台风侵袭的条件是城市到台风中心的距离不大于台风侵袭半径，即： $|O{P}_t|\le r(t)⟺|O{P}_t{|}^2\le [r(t){]}^2$

计算 $|O{P}_t{|}^2$： $|O{P}_t{|}^2=(30\sqrt{2}-10\sqrt{2}t{)}^2+(-210\sqrt{2}+10\sqrt{2}t{)}^2$ $|O{P}_t{|}^2=200(3-t{)}^2+200(-21+t{)}^2$ $|O{P}_t{|}^2=200(9-6t+t^2+441-42t+t^2)=200(2t^2-48t+450)=400t^2-9600t+90000$

计算 $[r(t){]}^2$： $[r(t){]}^2=(60+10t{)}^2=100t^2+1200t+3600$

列出不等式： $400t^2-9600t+90000\le 100t^2+1200t+3600$ $300t^2-10800t+86400\le 0$

两边同除以 300： $t^2-36t+288\le 0$

因式分解： $(t-12)(t-24)\le 0⟹12\le t\le 24$

因求“开始”受侵袭的时间，取解集的左端点 $t=12$。

答：12 小时后该城市开始受到台风的侵袭。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：平面直角坐标系建系，向量/速度的分解，两点间距离公式，一元二次不等式的应用。
2. 核心方法：坐标解析法。将由方位角描绘的动态几何运动完全转换为直角坐标系下的代数多项式运算。
3. 避坑指南：

   • 确定 $P$ 点初始坐标时，由于是东偏南，其 $y$ 轴坐标必为负数，若漏掉负号将导致后续整个二次方程错乱。

   • 速度分解时注意方向，向“西”表明 $x$ 方向位移随时间递减，系数含负号；向“北”表明 $y$ 方向位移随时间递增，系数为正号。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 本题属于典型的解析几何解析建模应用题，考查将实际生活中的物理运动、动态区域覆盖映射为圆的方程和一元二次不等式基本代数工具的能力。
2. 结论推广: 此类“圆区域覆盖动态交叠”模型的通用方程为 $(x_0+v_{x}t{)}^2+(y_0+v_{y}t{)}^2\le (r_0+v_{r}t{)}^2$。展开后恒为一个关于 $t$ 的一元二次不等式 $A{t}^2+Bt+C\le 0$。通过判别式 $\Delta$ 可进一步判定台风是否会擦肩而过（$\Delta <0$ 表示从未侵袭）。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 21.01 空间向量及其运算

类题演练 (Links)

• 2009-安徽卷文-11 填-空间坐标系距离
• 2013-浙江卷理-10 单-线面垂直
• 2013-浙江卷理-20 解-线面平行