2003-全国卷理-14 填-对数函数的定义域

本题导读

本题核心考查对数超越不等式的求解。解题关键在于首先确立对数函数的定义域约束，再通过将不等式拆分为对数函数与一次函数，利用数形结合法观察图象的上下位置关系，准确锁定自变量 $x$ 的取值范围。

📌【题干】

Question

（2003年全国卷(理)） 使 ${\log }_2(-x)<x+1$ 成立的 $x$ 的取值范围是________.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 确定定义域：根据对数函数的真数必须大于 0，列出不等式 $-x>0$，求得 $x<0$。

2. 数形结合拆分函数：将不等式两端分离为两个独立函数，左边为对数函数 $y_1={\log }_2(-x)$，右边为一次函数 $y_2=x+1$。

3. 寻找关键交点：寻找 $y_1=y_2$ 的特殊交点。通过观察或代入特殊值（如 $x=-1$），确定两条曲线在 $x<0$ 区域内的交点横坐标。

4. 判定图象位置关系：在同一坐标系中画出两函数图象，寻找对数曲线 $y_1$ 严格位于直线 $y_2$ 下方的自变量区间，并与定义域取交集。

✅【答案】

Success

$(-1,0)$

✍【详细解析】

Abstract

第一步：确定函数的定义域 要使对数式 ${\log }_2(-x)$ 有意义，真数必须严格大于 0： $-x>0⟹x<0$ 因此，所有后续讨论均必须在 $x\in (-\infty ,0)$ 这一前提下进行。

第二步：利用数形结合法寻找交点 将不等式 ${\log }_2(-x)<x+1$ 转化为考查两个函数图象的上下相对位置关系：

• 设对数函数为 $y_1={\log }_2(-x)$
• 设一次函数为 $y_2=x+1$

令 $y_1=y_2$，即 ${\log }_2(-x)=x+1$。 在 $x<0$ 的范围内观察并代入特殊值： 当 $x=-1$ 时：

• 左边 $y_1={\log }_2(-(-1))={\log }_{2}1=0$
• 右边 $y_2=-1+1=0$ 此时左边等于右边，说明 $x=-1$ 是两个函数图象在左半平面的唯一交点。

第三步：判定图象的上下位置关系 分析两函数在交点 $x=-1$ 两侧的单调性与走势：

• 当 $x\in (-\infty ,-1)$ 时： 对数函数 $y_1={\log }_2(-x)$ 随着 $x$ 的减小（$-x$ 增大）而单调递增，其值满足 $y_1>0$； 一次直线 $y_2=x+1$ 随着 $x$ 的减小而单调递减，其值满足 $y_2<0$。 此时 $y_1>y_2$，不满足题意。

• 当 $x\in (-1,0)$ 时： 对数函数 $y_1={\log }_2(-x)$ 的图象向右下方无限延伸，其值满足 $y_1<0$； 一次直线 $y_2=x+1$ 的图象向右上方延伸，其值满足 $y_2>0$（在 $x\in (-1,0)$ 时，$y_2\in (0,1)$）。 此时对数曲线 $y_1$ 严格位于直线 $y_2$ 的下方，满足 $y_1<y_2$。

结合第一步的定义域条件 $x<0$，可得使不等式成立的 $x$ 的取值范围为 $(-1,0)$。

最终答案：$(-1,0)$

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：对数式真数大于零的底线约束，通过特殊值联立求解超越方程的交点，数形结合思想的直观应用。
2. 核心方法：数形结合法。
3. 避坑指南：

   • 极其容易漏掉对数函数的定义域约束（$x<0$），若不加限制，极易误认为满足条件的区间是 $(-1,+\infty )$。

   • 面对这类无法通过初等代数方法直接解出的超越不等式，不要盲目进行代数变形，转换为图象交点并结合特殊值法是最高效的解题通路。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 本题属于函数与不等式板块中的常规填空题。主要考查教材中关于“对数函数图象性质”与“初等超越方程隐式解”的直观几何判定。
2. 结论推广: 一般地，方程 ${\log }_a(-x)=x+b$ ($a>1$) 的解无法用初等函数显式表达，需借助图象或二分法求近似解。本题可直接由对数函数图象与直线 $y=x+b$ 的交点判定解的个数。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 06.01 幂指对函数图象与性质

类题演练 (Links)

• 1977-山东A-03 解-函数定义域两连
• 1977-山东B-03 解-函数定义域两连
• 1982-全国文-01 填-函数定义域的填写