2003-全国卷理-13 填-二项式定理

本题导读

本题核心考查二项式定理及通项公式的应用。解题关键在于写出二项展开式的通项公式，将自变量 $x$ 的指数项统一合并，根据目标项 $x^9$ 建立方程确定项数参数 $r$，最终计算出对应的系数。

📌【题干】

Question

（2003年全国卷(理)） ${\left(x^2-\frac{1}{2x}\right)}^9$ 的展开式中 $x^9$ 系数是________.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 写出通项公式：根据二项展开式通项公式 $T_{r+1}=C_n^r{a}^{n-r}{b}^r$，将 $n=9$，$a=x^2$，$b=-\frac{1}{2x}$ 代入。

2. 分离系数与自变量：将通项公式中的常数系数项与自变量 $x$ 的指数项分别进行归拢与合并，化简为 $A\cdot x^{f(r)}$ 的形式。

3. 建立方程求解 $r$：令自变量的指数函数 $f(r)=9$，求出对应的正整数 $r$。

4. 代入计算系数：将求得的 $r$ 值代入系数项 $A$ 中，计算出最终的数值结果。

✅【答案】

Success

$-\frac{21}{2}$

✍【详细解析】

Abstract

根据二项式定理，设展开式的第 $r+1$ 项为 $T_{r+1}$，其通项公式为： $T_{r+1}=C_9^r(x^2{)}^{9-r}{\left(-\frac{1}{2x}\right)}^r(0\le r\le 9,r\in \mathbf{Z})$

对通项进行代数变形，将系数与自变量 $x$ 分离： $T_{r+1}=C_9^r\cdot x^{18-2r}\cdot {\left(-\frac{1}{2}\right)}^r\cdot x^{-r}$ $T_{r+1}=C_9^r{\left(-\frac{1}{2}\right)}^r\cdot x^{18-3r}$

要求 $x^9$ 的系数，令 $x$ 的指数等于 9，建立方程： $18-3r=9$ $3r=9⟹r=3$

将 $r=3$ 代入对应的系数项中： $\text{系数}=C_9^3\cdot {\left(-\frac{1}{2}\right)}^3$

计算组合数与幂运算： $C_9^3=\frac{9\times 8\times 7}{3\times 2\times 1}=84$ ${\left(-\frac{1}{2}\right)}^3=-\frac{1}{8}$

两项相乘求得最终系数： $\text{系数}=84\times \left(-\frac{1}{8}\right)=-\frac{84}{8}=-\frac{21}{2}$

最终答案：$-\frac{21}{2}$

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：二项式展开通项公式 $T_{r+1}=C_n^r{a}^{n-r}{b}^r$ 的代数变形，指数幂的运算法则。
2. 核心方法：待定系数方程法。
3. 避坑指南：

   • 极易忽略第二项中的负号，把 $b$ 错记为 $\frac{1}{2x}$，导致漏掉 $(-1{)}^r$ 的符号变号，算错正负号。

   • 注意通项公式对应的是第 $r+1$ 项，而组合数上标以及各项指数分配的参数是 $r$。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 本题属于计数原理与二项式定理板块中最基础的填空题，直接考查教材中通项公式的常规演练，属于高考中的绝对送分题。
2. 结论推广: 对于任意二项式 ${\left(A{x}^m+B{x}^n\right)}^N$ 的展开式，其通项中 $x^k$ 对应的组合数下标 $r$ 的通用计算代数方程为： $m(N-r)+nr=k⟹r=\frac{k-mN}{n-m}$ 本题中 $A=1,m=2,B=-\frac{1}{2},n=-1,N=9,k=9$，直接代入可得： $r=\frac{9-2\times 9}{-1-2}=\frac{-9}{-3}=3$。该结构方程可实现任意二项式指定项系数的极速定位。

🔗【关联脉络】

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