2003-全国卷理-12 单-正四面体的几何性质

本题导读

本题主要考查正四面体外接球表面积的计算。解题的关键在于利用空间几何体的“补形法”，将正四面体看作是由一个正方体各面的对角线相连而成，从而将正四面体的外接球转化为正方体的外接球，使球的直径与正方体的体对角线直接建立代数关联。

📌【题干】

Question

（2003年全国卷(理)） 一个四面体的所有棱长都为 $\sqrt{2}$，四个顶点在同一球面上，则此球的表面积为()

A. $3\pi$　　　　　　　B. $4\pi$　　　　　　　C. $3\sqrt{3}\pi$　　　　　　　D. $6\pi$

🔍【思路分析】

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1. 结构识别：所有棱长都为 $\sqrt{2}$ 的四面体是一个正四面体。

2. 巧妙补形：正四面体可以看作是嵌入在一个正方体内部的几何体。正方体拥有 6 个面、8 个顶点，选取交错的 4 个顶点相连，形成的 6 条面对角线恰好构成一个正四面体。

3. 转化对偶参数：正四面体的 4 个顶点就是正方体 8 个顶点中的 4 个，因此正四面体的外接球也就是该正方体的外接球。

4. 建立直径等式：正方体的体对角线就是外接球的直径 $2R$。设正方体棱长为 $x$，已知面对角线（即正四面体棱长）为 $\sqrt{2}$，利用勾股定理求出 $x$，进而求出体对角线和外接球表面积。

✅【答案】

Success

A

✍【详细解析】

Abstract

根据题意，该四面体的所有棱长均相等，为 $\sqrt{2}$，故其为一个棱长 $L=\sqrt{2}$ 的正四面体。

采用正方体补形法：将正四面体补形成一个正方体，使其 6 条棱恰好对应正方体 6 个面的对角线。

设补形后的正方体棱长为 $x$。 因为正方体每个面都是正方形，其面对角线长为 $\sqrt{2}x$。 由题意，该对角线长等于正四面体的棱长： $\sqrt{2}x=\sqrt{2}⟹x=1$

由于正四面体的四个顶点恰好是该正方体八个顶点中的四个，所以正四面体的外接球与该正方体的外接球为同一个球。

根据正方体的空间性质，正方体的体对角线长即为外接球的直径 $2R$： $2R=\sqrt{x^2+x^2+x^2}=\sqrt{3}x$

将 $x=1$ 代入上式可得球直径的平方： $(2R{)}^2=(\sqrt{3}\times 1{)}^2=3⟹4R^2=3$

根据球的表面积公式，直接带入 $4R^2$ 的组合值： $S_{\text{球}}=4\pi R^2=\pi \cdot (4R^2)=3\pi$

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：正四面体与外接正方体的边长映射规律（$L_{\text{四面体}}=\sqrt{2}{x}_{\text{正方体}}$），球的外接体对角线公式 $(2R{)}^2=3x^2$，球表面积公式 $S=4\pi R^2$。
2. 核心方法：构造补形法。将复杂的立体多面体外接球问题通过“补全长方体/正方体”，转化为初等体对角线代数关系。
3. 避坑指南：

   • 传统解法需要求出正四面体的高以及高上的垂直分点（外心处于高向下 $\frac{3}{4}$ 处），计算过程涉及复杂的空间直角三角形，极易因为立体坐标或开方运算而算错。

   • 最终求解的是表面积 $4\pi R^2$，无需单独把半径 $R=\frac{\sqrt{3}}{2}$ 算出来，直接对整体 $4R^2=3$ 进行代换能极大提高运算速度。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 本题属于立体几何多面体与旋转体（球）切接组合问题的最经典基础母题，主要用于考查考生的空间想象力以及“化暗为明”的补形数学思想。
2. 结论推广:
   • 对于任意棱长为 $L$ 的正四面体，其补形正方体棱长恒为 $x=\frac{\sqrt{2}}{2}L$。
   • 其外接球直径的平方恒满足：$(2R{)}^2=3x^2=3\cdot {\left(\frac{\sqrt{2}}{2}L\right)}^2=\frac{3}{2}{L}^2$。
   • 对应的外接球表面积通用公式为：$S_{\text{球}}=4\pi R^2=\frac{3}{2}\pi L^2$。 本题中直接将 $L=\sqrt{2}$ 代入推广公式，可实现极速秒杀：$S_{\text{球}}=\frac{3}{2}\pi \cdot (\sqrt{2}{)}^2=3\pi$。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 13.07 四面体的性质

类题演练 (Links)

• 1952-全国-10 填-球面积与大圆面积比
• 1953-全国-10 解-球的表面积与体积
• 1986-广东文-28 填-球内切圆柱的表面积比