2003-全国卷理-08 单-双曲线的标准方程与几何性质

本题导读

本题主要考查双曲线的标准方程以及直线与双曲线相交的弦中点问题。解题的关键在于由焦点坐标确定双曲线的基本形态与几何量 $c^2$，进而利用“点差法”建立弦中点坐标、直线斜率与双曲线方程中参数 $a^2,b^2$ 之间的内在代数关联。

📌【题干】

Question

（2003年全国卷(理)） 已知双曲线中心在原点且一个焦点为 $F(\sqrt{7},0)$，直线 $y=x-1$ 与其相交于 $M、N$ 两点，$MN$ 中点的横坐标为 $-\frac{2}{3}$，则此双曲线的方程是()

A. $\frac{x^2}{3}-\frac{y^2}{4}=1$　　　　　　　　　　　　　　B. $\frac{x^2}{4}-\frac{y^2}{3}=1$

C. $\frac{x^2}{5}-\frac{y^2}{2}=1$　　　　　　　　　　　　　　D. $\frac{x^2}{2}-\frac{y^2}{5}=1$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 确定基本方程与几何量：由焦点 $F(\sqrt{7},0)$ 在 $x$ 轴上可知，双曲线焦点在 $x$ 轴上，标准方程形式为 $\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$。且焦距半长满足 $c=\sqrt{7}$，即 $a^2+b^2=c^2=7$。

2. 确定中点完整坐标：已知 $M,N$ 在直线 $y=x-1$ 上，其中点 $A(x_0,y_0)$ 必然也在该直线上。已知 $x_0=-\frac{2}{3}$，代入直线方程可求出 $y_0$。

3. 点差法构建代数式：设 $M(x_1,y_1)$， $N(x_2,y_2)$。将两点代入双曲线方程中，作差并因式分解，凑出直线斜率 $k_{MN}=\frac{y_1-y_2}{x_1-x_2}$ 与中点坐标的组合，从而得到关于 $a^2,b^2$ 的比例关系。

4. 方程组联立求解：结合 $a^2+b^2=7$ 与比例关系式，求出 $a^2$ 和 $b^2$ 的精确值。

✅【答案】

Success

D

✍【详细解析】

Abstract

因为一个焦点为 $F(\sqrt{7},0)$，所以双曲线的中心在原点且焦点在 $x$ 轴上。 设双曲线的标准方程为： $\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1(a>0,b>0)$

由焦点坐标可得： $c=\sqrt{7}⟹a^2+b^2=c^2=7\text{(1)}$

设直线 $y=x-1$ 与双曲线的两个交点坐标分别为 $M(x_1,y_1)$， $N(x_2,y_2)$，弦 $MN$ 的中点为 $A(x_0,y_0)$。 因为中点 $A$ 在直线 $y=x-1$ 上，且已知其横坐标 $x_0=-\frac{2}{3}$，代入直线方程得中点纵坐标为： $y_0=x_0-1=-\frac{2}{3}-1=-\frac{5}{3}$

因为点 $M$ 和点 $N$ 均在双曲线上，将其坐标代入双曲线标准方程： $\frac{x_1^2}{a^2}-\frac{y_1^2}{b^2}=1\text{(2)}$ $\frac{x_2^2}{a^2}-\frac{y_2^2}{b^2}=1\text{(3)}$

两式相减（② - ③）可得： $\frac{x_1^2-x_2^2}{a^2}-\frac{y_1^2-y_2^2}{b^2}=0⟹\frac{(x_1-x_2)(x_1+x_2)}{a^2}=\frac{(y_1-y_2)(y_1+y_2)}{b^2}$

由于 $M,N$ 是两个不同的交点， $x_1-x_2\ne 0$，将等式两边项进行移项变形： $\frac{b^2}{a^2}\cdot \frac{x_1+x_2}{y_1+y_2}=\frac{y_1-y_2}{x_1-x_2}$

依据中点坐标公式及直线斜率公式： $x_1+x_2=2x_0=-\frac{4}{3}$ $y_1+y_2=2y_0=-\frac{10}{3}$ $\frac{y_1-y_2}{x_1-x_2}=k_{MN}=1(\text{由已知直线 }y=x-1\text{ 易知斜率为 }1)$

代入上式变形中： $\frac{b^2}{a^2}\cdot \frac{-\frac{4}{3}}{-\frac{10}{3}}=1⟹\frac{b^2}{a^2}\cdot \frac{4}{10}=1⟹\frac{2b^2}{5a^2}=1⟹b^2=\frac{5}{2}{a}^2\text{(4)}$

将 ④ 代入 ① 式（$a^2+b^2=7$）中： $a^2+\frac{5}{2}{a}^2=7⟹\frac{7}{2}{a}^2=7⟹a^2=2$

则 $b^2$ 的值为： $b^2=7-a^2=7-2=5$

将 $a^2=2,b^2=5$ 代入标准方程，得该双曲线的方程为： $\frac{x^2}{2}-\frac{y^2}{5}=1$

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：双曲线中 $a^2+b^2=c^2$ 的特征几何关系（注意与椭圆中 $a^2-b^2=c^2$ 进行区分），中点在相交直线上的几何归属，点差法公式中 $\frac{b^2}{a^2}\cdot \frac{x_0}{y_0}=k$ 的推导。
2. 核心方法：点差法（也称中点割线法）。该方法能够避开传统的联立方程、展开韦达定理等繁琐的代数过程，在处理圆锥曲线弦中点问题时效率最高。
3. 避坑指南：

   • 极易受椭圆惯性思维影响，错记成 $a^2-b^2=7$，从而错选 B。

   • 利用点差法时，注意因式分解后的分母项对应关系。双曲线对应的公式比值为 $\frac{y_1-y_2}{x_1-x_2}=\frac{b^2}{a^2}\cdot \frac{x_1+x_2}{y_1+y_2}$，其中的正负号在作差时要保持警惕。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 本题属于圆锥曲线大板块中的中档压轴选择题，直接考查解析几何核心三大工具之一——“点差法”的几何演化，属于高考中考查直线与圆锥曲线相交问题的题型。
2. 结论推广: 对于焦点在 $x$ 轴上的双曲线 $\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$，若斜率为 $k$ 的直线与双曲线相交的弦中点为 $(x_0,y_0)$，则其恒满足以下对偶比例公式： $\frac{b^2}{a^2}=\frac{k\cdot y_0}{x_0}$ 本题中代入 $k=1,x_0=-\frac{2}{3},y_0=-\frac{5}{3}$，直接可得 $\frac{b^2}{a^2}=\frac{1\times \left(-\frac{5}{3}\right)}{-\frac{2}{3}}=\frac{5}{2}$。再结合 $a^2+b^2=c^2$ 即可实现极速心算破题。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 18.02 双曲线专题全总结

类题演练 (Links)

• 2023-新高考II卷-21 解-双曲线综合
• 1977-内蒙古理-04 解-直线与圆相切
• 1977-山西-08 解-直线与圆相切