2003-全国卷理-02 单-极坐标方程与直角坐标方程的互化

本题导读

本题主要考查极坐标方程与直角坐标方程的互化以及圆锥曲线（抛物线）的准线方程特征。解题的关键在于利用极坐标转换公式将已知的极坐标方程转化为直角坐标系下的标准抛物线方程，进而确定其准线方程，最后再转换为极坐标形式进行比对。

📌【题干】

Question

（2003年全国卷(理)） 圆锥曲线 $\rho =\frac{8\sin \theta }{{\cos }^2\theta }$ 的准线方程是()

A. $\rho \cos \theta =-2$　　　　　　B. $\rho \cos \theta =2$　　　　　　C. $\rho \sin \theta =-2$　　　　　　D. $\rho \sin \theta =2$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 去分母变形：将原极坐标方程去分母，变形为 $\rho {\cos }^2\theta =8\sin \theta$。

2. 两边同乘 $\rho$ 转换：为了凑出直角坐标转换公式所需的结构，方程两边同时乘以 $\rho$，得到 $(\rho \cos \theta {)}^2=8\rho \sin \theta$。

3. 化为直角坐标方程：代入 $x=\rho \cos \theta$ 和 $y=\rho \sin \theta$，识别出该曲线为开口向上的标准抛物线。

4. 求出准线并逆向转换：根据抛物线几何性质写出直角坐标系下的准线方程，再将 $y$ 代换回极坐标形式。

✅【答案】

Success

C

✍【详细解析】

Abstract

将原极坐标方程 $\rho =\frac{8\sin \theta }{{\cos }^2\theta }$ 两边同乘以 ${\cos }^2\theta$ 去分母，得： $\rho {\cos }^2\theta =8\sin \theta$

为了利用极坐标与直角坐标的转换公式： $\{\begin{array}{l}x=\rho \cos \theta \\ y=\rho \sin \theta \end{array}$ 将上述方程两边同时乘以 $\rho$，得： ${\rho }^2{\cos }^2\theta =8\rho \sin \theta$ $(\rho \cos \theta {)}^2=8(\rho \sin \theta )$

将直角坐标代换公式代入上式，可得直角坐标方程为： $x^2=8y$

这是一个开口向上的抛物线标准方程，形式为 $x^2=2py$。 由此可知： $2p=8⟹p=4⟹\frac{p}{2}=2$

该抛物线的焦点在 $y$ 轴正半轴上，其准线方程在直角坐标系下为： $y=-\frac{p}{2}⟹y=-2$

最后，利用转换公式 $y=\rho \sin \theta$，将准线方程化回极坐标方程： $\rho \sin \theta =-2$

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：极坐标基本转换公式（$x^2+y^2={\rho }^2,x=\rho \cos \theta ,y=\rho \sin \theta$），抛物线 $x^2=2py$ 的准线方程 $y=-\frac{p}{2}$。
2. 核心方法：同乘参数项法。在处理含有分式的三角极坐标方程时，两边同乘以 $\rho$ 或 ${\rho }^2$ 是化归为直角坐标标准多项式的常用手段。
3. 避坑指南：

   • 易将抛物线 $x^2=8y$ 的准线位置记错，误认为是 $x=-2$（从而错选 A）。

   • 易混淆焦点弦参数，将 $\frac{p}{2}$ 误算为 $p$，得出 $y=-4$ 相关的错误结论。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 本题源于教材中“极坐标与参数方程”选修章节的经典基础练习题，考查双坐标系融合转换的代数功底。
2. 结论推广: 对于形如 $\rho =\frac{2p\sin \theta }{{\cos }^2\theta }$ 的极坐标方程，其本质均代表直角坐标系下开口向上的抛物线 $x^2=2py$。其准线直角坐标方程恒为 $y=-\frac{p}{2}$，对应的极坐标方程通式恒为 $\rho \sin \theta =-\frac{p}{2}$。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 18.03 抛物线专题全总结
• 27.01 极坐标与直角坐标互化

类题演练 (Links)

• 1989-广东文-15 单-双曲线的方程
• 1977-山西-07 解-抛物线的标准方程
• 1986-广东理-27 填-极坐标方程化直角坐标