2003-全国卷理-01 单-同角三角函数基本关系

本题导读

本题主要考查同角三角函数的基本关系及正切的二倍角公式。解题的关键在于通过自变量 $x$ 所在的象限确定 $\sin x$ 及 $\tan x$ 的正负号，进而运用二倍角公式计算出目标正切值。

📌【题干】

Question

（2003年全国卷(理)） 已知 $x\in \left(-\frac{\pi }{2},0\right)$，$\cos x=\frac{4}{5}$，则 $\tan 2x=$()

A. $\frac{7}{24}$　　　　　　B. $-\frac{7}{24}$　　　　　　C. $\frac{24}{7}$　　　　　　D. $-\frac{24}{7}$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 判定象限与符号：由 $x\in \left(-\frac{\pi }{2},0\right)$ 可知 $x$ 是第四象限角。在此象限内，余弦值为正，正弦值和正切值均为负。

2. 计算单角正切值：利用同角三角函数平方关系 ${\sin }^{2}x+{\cos }^{2}x=1$ 求出 $\sin x$，再利用商数关系 $\tan x=\frac{\sin x}{\cos x}$ 算出 $\tan x$。

3. 应用二倍角公式：将算出的 $\tan x$ 代入正切的二倍角公式 $\tan 2x=\frac{2\tan x}{1-{\tan }^{2}x}$ 中，求得最终数值。

✅【答案】

Success

D

✍【详细解析】

Abstract

因为 $x\in \left(-\frac{\pi }{2},0\right)$，所以 $x$ 为第四象限角，其正弦值 $\sin x<0$。

已知 $\cos x=\frac{4}{5}$，根据同角三角函数的平方关系： $\sin x=-\sqrt{1-{\cos }^{2}x}=-\sqrt{1-{\left(\frac{4}{5}\right)}^2}=-\sqrt{1-\frac{16}{25}}=-\frac{3}{5}$

根据商数关系，求出 $\tan x$ 的值： $\tan x=\frac{\sin x}{\cos x}=\frac{-\frac{3}{5}}{\frac{4}{5}}=-\frac{3}{4}$

运用正切的二倍角公式计算 $\tan 2x$： $\tan 2x=\frac{2\tan x}{1-{\tan }^{2}x}=\frac{2\times \left(-\frac{3}{4}\right)}{1-{\left(-\frac{3}{4}\right)}^2}$

对分子和分母分别进行化简：

• 分子：$2\times \left(-\frac{3}{4}\right)=-\frac{3}{2}$
• 分母：$1-\frac{9}{16}=\frac{7}{16}$

组合并计算分式结果： $\tan 2x=\frac{-\frac{3}{2}}{\frac{7}{16}}=-\frac{3}{2}\times \frac{16}{7}=-\frac{24}{7}$

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：同角三角函数关系，第四象限各三角函数基本符号，正切二倍角通式。
2. 核心方法：基本公式联立代入法。
3. 避坑指南：

   • 极易忽略 $x$ 所在区间的约束，在开方求 $\sin x$ 时错看成第一象限角而误取正值 $\frac{3}{5}$，导致求出 $\tan x=\frac{3}{4}$，最终会错选成 C。

   • 分式化简时注意分子与分母的符号乘除，防止符号出错。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 本题属于三角函数板块中最标准的送分性质基础题，直接源于教材中对“同角三角函数基本关系式”与“二倍角公式”课后习题的直接拼接。
2. 结论推广: 若已知 $\cos x=\frac{m}{n}$ ($n>m>0$)，且 $x$ 为第四象限角，则有 $\sin x=-\frac{\sqrt{n^2-m^2}}{n}$，$\tan x=-\frac{\sqrt{n^2-m^2}}{m}$。代入二倍角通式可得其通用代数表示式：$\tan 2x=\frac{-2m\sqrt{n^2-m^2}}{2m^2-n^2}$。本题代入 $m=4,n=5$，可直接验算：$\tan 2x=\frac{-2\times 4\times 3}{2\times 16-25}=\frac{-24}{7}$。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 07.03 三角函数的图象与性质

类题演练 (Links)

• 2006-广东卷-15 解-辅助角三角最值
• 2006-重庆文-18 解-辅助角三角最值
• 1977-江西-07 填-二倍角求角