2003-上海卷理-20 解-椭圆的标准方程与几何性质

本题导读

本题是一道解析几何与实际应用相结合的综合题。核心在于建立直角坐标系，将隧道的限高与车道宽转化为椭圆上的点坐标，利用椭圆方程建立变量之间的代数关系，并结合基本不等式求解土方工程量最小时的尺寸。

📌【题干】

Question

（2003年上海卷(理)） 如图，某隧道设计为双向四车道，车道总宽 22 米，要求通行车辆限高 4.5 米，隧道全长 2.5 千米，隧道的拱线近似地看成半个椭圆形形状.

(1) 若最大拱高 $h$ 为 6 米，则隧道设计的拱宽 $l$ 是多少？

(2) 若最大拱高 $h$ 不小于 6 米，则应如何设计拱高 $h$ 和拱宽 $l$，才能使半个椭圆形隧道的土方工程量最小？ 注：半个椭圆的面积公式为 $S=\frac{\pi }{4}lh$，柱体体积为：底面积乘以高.本题结果精确到 0.1 米.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 建立坐标系，确定标准方程：以隧道底面中线为原点，底面横向为 $x$ 轴，对称轴方向为 $y$ 轴建立直角坐标系。设椭圆方程为 $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$ ($y\ge 0$)。根据题意，拱宽 $l=2a$，拱高 $h=b$。
2. 提炼关键点坐标：车道总宽 22 米，限高 4.5 米。意味着当车辆在最外侧车道行驶时，车顶边缘不能碰到隧道拱线，即点 $(11,4.5)$ 必须在椭圆上或椭圆内。临界状态下，点 $(11,4.5)$ 在椭圆上。
3. 解决第 (1) 问：已知 $h=b=6$，将点 $(11,4.5)$ 代入方程即可解出 $a$，进而求出 $l=2a$。
4. 解决第 (2) 问：土方工程量最小等价于半个椭圆的截面积 $S=\frac{\pi }{4}lh=\frac{\pi }{2}ab$ 最小，即求 $ab$ 的最小值。利用点 $(11,4.5)$ 在椭圆上建立的代数关系式，结合基本不等式或函数单调性求解。

✅【答案】

Success

(1) 拱宽 $l=\frac{88\sqrt{7}}{7}\approx 33.3$ 米

(2) 拱高 $h=\frac{9\sqrt{2}}{2}\approx 6.4$ 米，拱宽 $l=22\sqrt{2}\approx 31.1$ 米时，土方工程量最小

✍【详细解析】

Abstract

以隧道地面中线为原点，地面水平线为 $x$ 轴，隧道截面对称轴为 $y$ 轴建立平面直角坐标系（如图所示）。 设椭圆的方程为： $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1(y\ge 0)$ 其中，拱宽 $l=2a$，最大拱高 $h=b$。 由题意，车道边界处的关键临界点为 $P(11,4.5)$。将点 $P$ 代入椭圆方程得： $\frac{11^2}{a^2}+\frac{4.5^2}{b^2}=1⟹\frac{121}{a^2}+\frac{20.25}{b^2}=1\text{(1)}$

(1) 当最大拱高 $h=6$ 米时： 即 $b=6$，代入①式得： $\frac{121}{a^2}+\frac{20.25}{36}=1⟹\frac{121}{a^2}+\frac{9}{16}=1$ $\frac{121}{a^2}=\frac{7}{16}⟹a^2=\frac{121\times 16}{7}$ 解得： $a=\frac{44}{\sqrt{7}}=\frac{44\sqrt{7}}{7}$ 所以，隧道设计的拱宽为： $l=2a=\frac{88\sqrt{7}}{7}\approx \frac{88\times 2.6457}{7}\approx 33.3\text{米}$

(2) 求土方工程量最小时的 $h$ 和 $l$： 隧道全长恒定，土方工程量 $V=S\cdot L=\frac{\pi }{2}ab\cdot L$。要使 $V$ 最小，只需截面积 $S$ 最小，即求 $ab$ 的最小值。 由①式及基本不等式 $\alpha +\beta \ge 2\sqrt{\alpha \beta }$ 可得： $1=\frac{121}{a^2}+\frac{20.25}{b^2}\ge 2\sqrt{\frac{121\times 20.25}{a^2{b}^2}}=2\times \frac{11\times 4.5}{ab}=\frac{99}{ab}$ 所以： $ab\ge 99$ 当且仅当 $\frac{121}{a^2}=\frac{20.25}{b^2}=\frac{1}{2}$ 时，等号成立。 此时： $a^2=242⟹a=11\sqrt{2}$ $b^2=40.5⟹b=\sqrt{40.5}=\frac{9\sqrt{2}}{2}$ 检查此时的拱高是否符合题设： $h=b=\frac{9\sqrt{2}}{2}\approx 4.5\times 1.414=6.363\text{米}$ 由于 $6.363\ge 6$，满足条件 “最大拱高 $h$ 不小于 6 米”。

此时对应的尺寸为： $h=b=\frac{9\sqrt{2}}{2}\approx 6.4\text{米}$ $l=2a=22\sqrt{2}\approx 31.1\text{米}$

答：(1) 隧道设计的拱宽 $l$ 约为 33.3 米。 (2) 当拱高 $h$ 设计为 6.4 米、拱宽 $l$ 设计为 31.1 米时，隧道的土方工程量最小。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：椭圆实际应用建模；利用基本不等式 $A+B\ge 2\sqrt{AB}$ 求积 $AB$ 的最值。
2. 核心方法：坐标法。处理此类拱桥、隧道、路面等几何轮廓的最值问题时，通过合理的坐标系将“限宽、限高”转化为已知点的硬性坐标约束。
3. 避坑指南：
   • 忽视等号成立的边界检查：在第 (2) 问利用基本不等式求出 $b\approx 6.36$ 后，必须与题干中 “$h\ge 6$” 这一约束条件进行比对。若求得的 $b<6$，则说明最值在边界 $h=6$ 处取得，需要利用函数的单调性重新讨论。
   • 精度四舍五入错误：题目明确要求“精确到 0.1 米”，在开方及乘法运算过程中应尽量保留多位小数，在最终步骤再统一按四舍五入保留一位小数。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 本题属于二次曲线（椭圆）的最优设计应用题。将解析几何的解析式与均值不等式工具箱结合，是高考考查数学建模与数据分析核心素养的典型长载体解答题。
2. 结论推广: 若半椭圆 $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$ ($y\ge 0$) 需要容纳一个宽为 $2x_0$，高为 $y_0$ 的矩形通道，则使该半椭圆面积最小的几何设计满足： $a=\sqrt{2}{x}_0,b=\sqrt{2}{y}_0$ 此时最小面积为 $S_{\min }=\pi x_0{y}_0$。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 18.01 椭圆专题全总结

类题演练 (Links)

• 1998-全国卷文-24 解-基本不等式的实际应用
• 1977-吉林-12 解-椭圆标准方程
• 1977-安徽文-10 解-椭圆基本量