2003-上海卷理-19 解-等比数列的通项公式

本题导读

本题考查等比数列与二项式定理的交汇融合。通过特殊项的求和计算，引导学生发现二项展开式的结构特征，从而归纳出一般性结论，并利用二项式定理完成严谨的代数证明。

📌【题干】

Question

（2003年上海卷(理)）已知数列 ${a_{n}}$ ( $n$ 为正整数) 是首项是 $a_{1}$ ，公比为 $q$ 的等比数列.

(1) 求和： $a_{1} C_{2}^{0} - a_{2} C_{2}^{1} + a_{3} C_{2}^{2}$ ， $a_{1} C_{3}^{0} - a_{2} C_{3}^{1} + a_{3} C_{3}^{2} - a_{4} C_{3}^{3}$ ；

(2) 由 (1) 的结果归纳概括出关于正整数 $n$ 的一个结论，并加以证明.

🔍【思路分析】

破题导航

第一步（求特殊和）：将等比数列通项公式 $a_{n} = a_{1} q^{n - 1}$ 代入第 (1) 问的两个算式中，提取公因式 $a_{1}$ ，将剩余部分与完全平方、完全立方公式进行比对化简。

第二步（归纳结论）：观察第 (1) 问中两式化简后的结构特征（即 $n = 2$ 和 $n = 3$ 时的结果形式），推广到一般的正整数 $n$ ，写出通项求和公式。

第三步（代数证明）：将一般性的求和式写出，同样提取首项 $a_{1}$ ，利用二项式定理 $(x + y)^{n} = \sum_{k = 0}^{n} C_{n}^{k} x^{n - k} y^{k}$ 的逆向组合进行恒等变形，从而完成证明。

✅【答案】

Success

(1) 两个和分别为 $a_{1} (1 - q)^{2}$ ， $a_{1} (1 - q)^{3}$

(2) 一般结论： $a_{1} C_{n}^{0} - a_{2} C_{n}^{1} + a_{3} C_{n}^{2} - \dots + (- 1)^{n} a_{n + 1} C_{n}^{n} = a_{1} (1 - q)^{n}$ ；证明见解析

✍【详细解析】

Abstract

(1) 求解特殊和： 因为 ${a_{n}}$ 是首项为 $a_{1}$ ，公比为 $q$ 的等比数列，所以 $a_{n} = a_{1} q^{n - 1}$ 。将通项公式代入第一个算式得： $a_{1} C_{2}^{0} - a_{2} C_{2}^{1} + a_{3} C_{2}^{2} = a_{1} \cdot 1 - a_{1} q \cdot 2 + a_{1} q^{2} \cdot 1$ $= a_{1} (1 - 2 q + q^{2}) = a_{1} (1 - q)^{2}$

将通项公式代入第二个算式得： $a_{1} C_{3}^{0} - a_{2} C_{3}^{1} + a_{3} C_{3}^{2} - a_{4} C_{3}^{3} = a_{1} \cdot 1 - a_{1} q \cdot 3 + a_{1} q^{2} \cdot 3 - a_{1} q^{3} \cdot 1$ $= a_{1} (1 - 3 q + 3 q^{2} - q^{3}) = a_{1} (1 - q)^{3}$

(2) 归纳结论并证明： 归纳结论： 由 (1) 的结果可以归纳概括出关于正整数 $n$ 的通用结论为： $a_{1} C_{n}^{0} - a_{2} C_{n}^{1} + a_{3} C_{n}^{2} - \dots + (- 1)^{n} a_{n + 1} C_{n}^{n} = a_{1} (1 - q)^{n}$

证明如下： 左边 $= a_{1} C_{n}^{0} - (a_{1} q) C_{n}^{1} + (a_{1} q^{2}) C_{n}^{2} - \dots + (- 1)^{n} (a_{1} q^{n}) C_{n}^{n}$ 提取公因式 $a_{1}$ 得： $= a_{1} [C_{n}^{0} - C_{n}^{1} q + C_{n}^{2} q^{2} - \dots + (- 1)^{n} C_{n}^{n} q^{n}]$ $= a_{1} [C_{n}^{0} \cdot 1^{n} \cdot (- q)^{0} + C_{n}^{1} \cdot 1^{n - 1} \cdot (- q)^{1} + C_{n}^{2} \cdot 1^{n - 2} \cdot (- q)^{2} + \dots + C_{n}^{n} \cdot 1^{0} \cdot (- q)^{n}]$ 根据二项式定理 $(x + y)^{n} = C_{n}^{0} x^{n} + C_{n}^{1} x^{n - 1} y + \dots + C_{n}^{n} y^{n}$ ，令 $x = 1$ , $y = - q$ ，则括号内部分可整式合并为： $[1 + (- q)]^{n} = (1 - q)^{n}$ 所以：左边 $= a_{1} (1 - q)^{n} =$ 右边。原结论成立。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：等比数列通项公式的应用；二项式定理的逆向合并应用（ $\sum_{k = 0}^{n} C_{n}^{k} (- q)^{k} = (1 - m)^{n}$ ）。

核心方法：从特殊到一般的归纳法。通过低阶多项式的系数特征（如 1, 2, 1 和 1, 3, 3, 1）关联到杨辉三角，进而识别出二项式展开模型。

避坑指南：

符号规律写错：在第 (2) 问写出通项结论时，最后一项的符号由 $n$ 的奇偶性决定，必须准确写为 $(- 1)^{n} a_{n + 1} C_{n}^{n}$ ，部分考生常漏掉 $(- 1)^{n}$ 或者是错写成 $(- 1)^{n - 1}$ 。

错用等比数列求和公式：本题不是直接对等比数列求和，而是对含有组合数权重的交错和进行化简，故不能套用 $S_{n} = \frac{a _{1} ( 1 - q ^{n} )}{1 - q}$ 。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源: 本题考查等比数列与二项式定理的交汇，属数列与组合恒等式的经典综合题。

结论推广: 若将本题中的交错和推广到更一般的情形：若定义序列 $b_{k} = C_{n}^{k} a_{k + 1} x^{k}$ ，其中 ${a_{n}}$ 为等比数列，则其全项和满足： $\sum_{k = 0}^{n} C_{n}^{k} a_{k + 1} x^{k} = a_{1} (1 + q x)^{n}$ 本题即为 $x = - 1$ 时的特例。

🔗【关联脉络】

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19.02 等比数列全总结

类题演练 (Links)

1985-广东文-02 填-等比数列的通项

1986-全国理-15 填-二项式的常数项

1988-广东文-01 单-等比数列的通项

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