2003-上海卷理-17 解-复数的模及其性质

本题导读

本题考查复数模的运算性质以及三角函数最值的求解。利用复数乘积的模等于模的乘积这一性质，可将复数问题转化为实数范围内的三角函数最值问题。

📌【题干】

Question

（2003年上海卷(理)） 已知复数 $z_1=\cos \theta -\text{i}$，$z_2=\sin \theta +\text{i}$，求 $|z_1\cdot z_2|$ 的最大值和最小值.

🔍【思路分析】

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1. 利用复数模的性质化简：由 $|z_1\cdot z_2|=|z_1|\cdot |z_2|$，分别求出 $|z_1|$ 和 $|z_2|$ 的代数式。
2. 构建三角函数式：将模长乘积写成关于 $\theta$ 的三角函数表达式，并利用同角三角函数平方关系 ${\sin }^2\theta +{\cos }^2\theta =1$ 进行化简。
3. 换元求最值：利用二倍角公式或换元法，将式子转化为二次函数形式，结合自变量的取值范围求解最值。

✅【答案】

Success

最大值为 $\frac{3}{2}$，最小值为 $\sqrt{2}$

✍【详细解析】

Abstract

根据复数模的性质 $|z_1\cdot z_2|=|z_1|\cdot |z_2|$。 因为 $z_1=\cos \theta -\text{i}$，$z_2=\sin \theta +\text{i}$， 所以： $|z_1|=\sqrt{{\cos }^2\theta +(-1{)}^2}=\sqrt{{\cos }^2\theta +1}$ $|z_2|=\sqrt{{\sin }^2\theta +1^2}=\sqrt{{\sin }^2\theta +1}$ 因此： $|z_1\cdot z_2|=\sqrt{{\cos }^2\theta +1}\cdot \sqrt{{\sin }^2\theta +1}=\sqrt{({\cos }^2\theta +1)({\sin }^2\theta +1)}$

展开根号内的式子： $({\cos }^2\theta +1)({\sin }^2\theta +1)={\sin }^2\theta {\cos }^2\theta +{\sin }^2\theta +{\cos }^2\theta +1$ 利用 ${\sin }^2\theta +{\cos }^2\theta =1$ 以及 $\sin \theta \cos \theta =\frac{1}{2}\sin 2\theta$，上式可化为： ${\left(\frac{1}{2}\sin 2\theta \right)}^2+1+1=\frac{1}{4}{\sin }^{2}2\theta +2$ 所以： $|z_1\cdot z_2|=\sqrt{\frac{1}{4}{\sin }^{2}2\theta +2}$

因为 $\theta \in \mathbb{R}$，所以 $\sin 2\theta \in [-1,1]$，从而 ${\sin }^{2}2\theta \in [0,1]$。

• 当 ${\sin }^{2}2\theta =1$ 时，根号内式子取得最大值 $\frac{1}{4}\times 1+2=\frac{9}{4}$；
• 当 ${\sin }^{2}2\theta =0$ 时，根号内式子取得最小值 $\frac{1}{4}\times 0+2=2$。

综上所述： $|z_1\cdot z_2|$ 的最大值为 $\sqrt{\frac{9}{4}}=\frac{3}{2}$； $|z_1\cdot z_2|$ 的最小值为 $\sqrt{2}$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：复数模的积等于积的模（$|z_1\cdot z_2|=|z_1|\cdot |z_2|$）；三角函数的最值范围。
2. 核心方法：结构转化法。避免直接进行复数乘法 $z_1\cdot z_2$ 的复杂运算，直接对其模长进行几何意义或代数式的化简。
3. 避坑指南：盲目展开复数乘积。若先计算 $z_1\cdot z_2=(\cos \theta \sin \theta +1)+(\cos \theta -\sin \theta )\text{i}$ 再求模，运算量会显著增加，易因三角公式变形不熟练导致失误。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 本题属于复数代数运算与三角函数最值问题的标准交汇解答题，通常作为高考解答题的第一题（送分题）。
2. 结论推广: 对于复数 $z_1=a+\text{bi}$ 和 $z_2=c+\text{di}$，满足 $a^2+c^2=R_1$ 且 $b^2+d^2=R_2$ 结构的模长最值问题，均可通过 $|z_1{z}_2{|}^2=|z_1{|}^2|z_2{|}^2$ 转化为有界多元变量的条件最值，进而利用基本不等式或三角换元求解。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 12.01 数系的扩充与复数

类题演练 (Links)

• 1977-上海文-07 解-二次函数最小值
• 1977-辽宁-06 解-二次函数最值
• 1982-全国文-05 解-篱笆围场的最大面积