2003-上海卷理-15 单-充分条件与必要条件

本题导读

本题考查一元二次不等式解集相同的充要条件判定。重点在于深刻理解二次项系数的符号对不等式解集（开口方向）的决定性影响，通过正反向的逻辑推导和反例构造来确定条件之间的包含关系。

📌【题干】

Question

（2003年上海卷(理)） $a_1$、$b_1$、$c_1$、$a_2$、$b_2$、$c_2$ 均为非零实数，不等式 $a_1{x}^2+b_{1}x+c_1>0$ 和 $a_2{x}^2+b_{2}x+c_2>0$ 的解集分别为集合 $M$ 和 $N$，那么 $\frac{a_1}{a_2}=\frac{b_1}{b_2}=\frac{c_1}{c_2}$ 是 $M=N$ 的().

A. 充分非必要条件　　　　　　　　　　B. 必要非充充分条件

C. 充要条件　　　　　　　　　　　　　D. 既非充分又非必要条件

🔍【思路分析】

破题导航

1. 分析充分性（左 $⟹$ 右）：已知 $\frac{a_1}{a_2}=\frac{b_1}{b_2}=\frac{c_1}{c_2}=k\ne 0$，则 $a_1=k{a}_2,b_1=k{b}_2,c_1=k{c}_2$。代入第一个不等式转化为 $k(a_2{x}^2+b_{2}x+c_2)>0$。探讨当 $k>0$ 和 $k<0$ 时，其解集 $M$ 与 $N$ 是否依然保持相等。
2. 分析必要性（右 $⟹$ 左）：已知两个一元二次不等式的解集相同（即 $M=N$），探讨它们的对应系数是否必须成比例。可以通过构造解集相同但对应系数不成比例（或比值非全等）的特例进行检验。

✅【答案】

Success

D

✍【详细解析】

Abstract

设 条件 $P:\frac{a_1}{a_2}=\frac{b_1}{b_2}=\frac{c_1}{c_2}$，条件 $Q:M=N$。

第一步：检验充分性（$P⟹Q$ 是否成立） 若 $\frac{a_1}{a_2}=\frac{b_1}{b_2}=\frac{c_1}{c_2}=k$（$k\ne 0$），则不等式 $a_1{x}^2+b_{1}x+c_1>0$ 可化为： $k(a_2{x}^2+b_{2}x+c_2)>0$

• 当 $k>0$ 时，两边同除以 $k$ 得 $a_2{x}^2+b_{2}x+c_2>0$，此时解集 $M=N$；
• 当 $k<0$ 时，两边同除以 $k$ 需改变不等号方向，得 $a_2{x}^2+b_{2}x+c_2<0$，其解集 $M$ 与 $a_2{x}^2+b_{2}x+c_2>0$ 的解集 $N$ 显然不同。 例如：取 $a_2=1,b_2=0,c_2=-1$，不等式为 $x^2-1>0$，解集 $N=(-\infty ,-1)\cup (1,+\infty )$。 令 $k=-1$，则 $a_1=-1,b_1=0,c_1=1$，对应不等式为 $-x^2+1>0$，解集 $M=(-1,1)$。 此时满足条件 $P$，但 $M\ne N$，故充分性不成立。

第二步：检验必要性（$Q⟹P$ 是否成立） 若两个不等式的解集相同，即 $M=N$。

• 当 $M=N=\varnothing$ 时，只需满足两个二次函数的判别式 $\Delta \le 0$ 且二次项系数均小于 0 即可。 例如：不等式 $-x^2+x-1>0$ 和 $-2x^2+x-3>0$，它们的判别式均小于 0，解集 $M=N=\varnothing$。 但是它们的系数显然不成比例，即 $\frac{-1}{-2}\ne \frac{1}{1}$。 此时满足条件 $Q$，但条件 $P$ 不成立，故必要性不成立。

综上所述，$\frac{a_1}{a_2}=\frac{b_1}{b_2}=\frac{c_1}{c_2}$ 既不是 $M=N$ 的充分条件，也不是必要条件。

故正确答案为 D。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：充分、必要条件的逻辑定义；一元二次不等式解集的决定因素（二次项系数及判别式 $\Delta$）。
2. 核心方法：特值反例法。在判定复合代数命题时，只要能成功构造出一个“反例”（满足前件而不满足后件），即可直接否定该方向的逻辑因果关系。
3. 避坑指南：
   • 忽视比例系数 $k$ 的正负性：部分考生在验证充分性时，默认了 $k>0$，从而误认为充分性成立。
   • 忽略空集这一特殊情况：在验证必要性时，容易漏掉解集为整个实数集 $\mathbb{R}$ 或空集 $\varnothing$ 的极端情形。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 本题将初等代数中的二次不等式同解变形与逻辑用语综合在一起，考查分类讨论思想的严密性。
2. 结论推广: 若将条件 $P$ 修正为：$\frac{a_1}{a_2}=\frac{b_1}{b_2}=\frac{c_1}{c_2}=k$ 且 $k>0$，同时限定解集 $M\ne \varnothing$ 且 $M\ne \mathbb{R}$，那么此时条件 $P$ 是 $M=N$ 的充要条件。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 02.01 常用逻辑用语

类题演练 (Links)

• 1954-全国-02 解-二次函数图象定范围
• 1958-北京-08 解-二次函数符号区间与图象
• 1989-广东文-10 单-不等式的解集