2003-上海卷理-14 单-空间中平面与平面的位置关系

本题导读

本题考查空间中平面与平面平行的判定条件。通过对各选项给出的几何关系进行空间想象或构造反例，检验是否能推出面面平行，重点在于考查面面平行判定定理中“相交直线”这一核心条件。

📌【题干】

Question

（2003年上海卷(理)） 在下列条件中，可判断平面 $\alpha$ 与 $\beta$ 平行的是().

A. $\alpha$、$\beta$ 都垂直于平面 $\gamma$

B. $\alpha$ 内存在不共线的三点到 $\beta$ 的距离相等

C. $l$, $m$ 是 $\alpha$ 内两条直线，且 $l\parallel \beta$, $m\parallel \beta$

D. $l$, $m$ 是两条异面直线，且 $l\parallel \alpha$, $m\parallel \alpha$, $l\parallel \beta$, $m\parallel \beta$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 分析选项 A：利用墙角模型（如教室的相邻两面墙都垂直于地面，但这两面墙相交），判断是否成立。
2. 分析选项 B：考虑不共线的两点在 $\beta$ 的同侧，第三点在 $\beta$ 的异侧，此时平面 $\alpha$ 与 $\beta$ 相交。
3. 分析选项 C：面面平行的判定定理要求一个平面内的两条相交直线都平行于另一个平面。若 $l\parallel m$，则无法判定面面平行。
4. 分析选项 D：异面直线 $l,m$ 分别平行于 $\alpha$ 和 $\beta$，可以等价转化为在一个平面内构造出两条相交直线平行于另一个平面。

✅【答案】

Success

D

✍【详细解析】

Abstract

• (A) 错误。 若平面 $\alpha$ 和 $\beta$ 相交，它们的交线垂直于平面 $\gamma$，则 $\alpha$ 和 $\beta$ 都可以垂直于平面 $\gamma$。
• (B) 错误。 设平面 $\alpha$ 与 $\beta$ 相交。在 $\alpha$ 内取一条与 $\beta$ 平行的直线，在该直线上取两点 $A,B$，这两点到 $\beta$ 的距离相等（设为 $d$）。在 $\alpha$ 内关于交线的另一侧取一点 $C$，使得 $C$ 到 $\beta$ 的距离也为 $d$。此时 $A,B,C$ 三点不共线且到 $\beta$ 的距离相等，但 $\alpha$ 与 $\beta$ 相交。
• (C) 错误。 缺少“相交”这一限制条件。若 $l\parallel m$，当 $l\parallel \beta$ 且 $m\parallel \beta$ 时，平面 $\alpha$ 与 $\beta$ 可以相交（交线平行于 $l$ 和 $m$）。
• (D) 正确。 因为 $l,m$ 是两条异面直线，且 $l\parallel \alpha$, $m\parallel \alpha$，根据直线与平面平行的性质定理及空间直线的平移性质，可在平面 $\alpha$ 内引两条相交直线 $l^{\prime },m^{\prime }$ 使得 $l^{\prime }\parallel l$, $m^{\prime }\parallel m$。 又因为 $l\parallel \beta$, $m\parallel \beta$，所以 $l^{\prime }\parallel \beta$, $m^{\prime }\parallel \beta$。 由于 $l^{\prime }$ 与 $m^{\prime }$ 是平面 $\alpha$ 内的两条相交直线，且它们都平行于平面 $\beta$，根据平面与平面平行的判定定理，可得 $\alpha \parallel \beta$。

故正确答案为 D。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：平面与平面平行的判定定理（若一个平面内有两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行）。
2. 核心方法：反例排除法。在解决立几概念选择题时，通过构造特殊的几何模型（如长方体、棱锥、墙角）快速否定错误命题。
3. 避坑指南：误选 C 选项。C 选项是经典的判定定理挖坑题，漏掉了“相交”二字。两条平行的直线无法确定一个平面与另一平面的相对倾斜度，因而无法约束两个平面保持平行。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 本题考查立体几何公理体系与定理的精确严谨性，属于高考试卷中考查空间想象力与逻辑推理论证能力的传统必考题。
2. 结论推广: 若将条件 (D) 中的“两条异面直线”推广为“两条相交直线”，结论同样成立。即：若空间内存在两条相交（或异面）直线同时平行于平面 $\alpha$ 和平面 $\beta$，则必有 $\alpha \parallel \beta$。其本质在于这两条直线可以唯一确定一个具有特定方向的向量平面。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 13.03 空间点、线、面位置关系

类题演练 (Links)

• 1977-内蒙古文-03 解-直线的平行与垂直
• 1985-广东理-29 单-空间直线的位置关系命题
• 1987-广东文-22 单-面面平行的判定