2003-上海卷理-11 填-三角形外接圆与弦长性质

本题导读

本题结合解析几何与数列极限，考查三角形外接圆面积的求解方法。利用点 $A$、$B$ 关于 $x$ 轴对称的几何特征，可快速确定外接圆圆心的位置，进而求出半径及面积的极限。

📌【题干】

Question

（2003年上海卷(理)） 已知点 $A\left(0,\frac{2}{n}\right)$，$B\left(0,-\frac{2}{n}\right)$，$C\left(4+\frac{2}{n},0\right)$，其中 $n$ 为正整数.设 $S_n$ 表示 $△ABC$ 外接圆的面积，则 ${\lim }_{n\to \infty }{S}_n=$ ________.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 分析点的几何特征：点 $A$ 和点 $B$ 的横坐标均为 0，纵坐标互为相反数，说明线段 $AB$ 在 $y$ 轴上，且关于 $x$ 轴垂直平分。
2. 确定外接圆圆心位置：根据弦的垂直平分线必过圆心，$△ABC$ 外接圆的圆心 $M$ 必在 $x$ 轴上。可设圆心坐标为 $M(x_0,0)$。
3. 建立方程求半径：利用圆心到各顶点的距离相等（$MA=MC$），列出关于 $x_0$ 的方程，解出 $x_0$ 并求出半径 $R_n$ 的表达式。
4. 求面积及极限：由 $S_n=\pi R_n^2$ 得到面积表达式，最后令 $n\to \infty$ 求出极限值。

✅【答案】

Success

$4\pi$

✍【详细解析】

Abstract

因为 $A\left(0,\frac{2}{n}\right)$，$B\left(0,-\frac{2}{n}\right)$， 所以线段 $AB$ 的中点为坐标原点 $(0,0)$，且 $AB\perp x$ 轴。 根据圆的几何性质，弦 $AB$ 的垂直平分线为 $x$ 轴，故 $△ABC$ 的外接圆圆心 $M$ 必在 $x$ 轴上。 设圆心坐标为 $M(x_0,0)$，外接圆半径为 $R_n$。 根据 $M{A}^2=M{C}^2=R_n^2$，由两点间距离公式得： $(x_0-0{)}^2+{\left(0-\frac{2}{n}\right)}^2={\left[x_0-\left(4+\frac{2}{n}\right)\right]}^2+(0-0{)}^2$ 化简得： $x_0^2+\frac{4}{n^2}=x_0^2-2x_0\left(4+\frac{2}{n}\right)+{\left(4+\frac{2}{n}\right)}^2$ $\frac{4}{n^2}=-2x_0\left(4+\frac{2}{n}\right)+16+\frac{16}{n}+\frac{4}{n^2}$ $2x_0\left(4+\frac{2}{n}\right)=16+\frac{16}{n}$ $2x_0\cdot \frac{4n+2}{n}=\frac{16n+16}{n}⟹x_0=\frac{8n+8}{4n+2}=\frac{4n+4}{2n+1}$

将 $x_0$ 代入 $R_n^2=x_0^2+\frac{4}{n^2}$，得外接圆面积 $S_n$ 为： $S_n=\pi R_n^2=\pi \left[{\left(\frac{4n+4}{2n+1}\right)}^2+\frac{4}{n^2}\right]$

利用极限的运算法则，当 $n\to \infty$ 时，$\frac{4}{n^2}\to 0$，且： ${\lim }_{n\to \infty }\frac{4n+4}{2n+1}={\lim }_{n\to \infty }\frac{4+\frac{4}{n}}{2+\frac{1}{n}}=\frac{4}{2}=2$ 因此： ${\lim }_{n\to \infty }{S}_n=\pi \left[2^2+0\right]=4\pi$

故答案为 $4\pi$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：三角形外接圆圆心的几何确定法（垂直平分线交点）；数列极限的基础计算（${\lim }_{n\to \infty }\frac{1}{n}=0$）。
2. 核心方法：特值简化思维。在解析几何中，善于利用图形的对称性减小未知数的个数（如直接判定圆心纵坐标为 0），可以极大降低运算量。
3. 避坑指南：盲目套用三点求圆的一般方程。若直接将 $A,B,C$ 三点代入圆的一般方程 $x^2+y^2+Dx+Ey+F=0$ 去解含有 $n$ 的三元一次方程组，运算极其冗长，容易在中途因符号或分式繁琐而放弃。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 本题考查了解析几何中的圆与微积分初步（极限）的交汇。通过让顶点随 $n$ 的增大而发生位置演变，考查动态图形的终态特征。
2. 结论推广: 当 $n\to \infty$ 时，点 $A\to (0,0)$，点 $B\to (0,0)$，点 $C\to (4,0)$。此时 $△ABC$ 退化为线段。但从运动学的角度看，当 $n$ 极大时，线段 $AB$ 长为 $\frac{4}{n}$，以 $y$ 轴为切线、经过原点及 $(4,0)$ 的圆即为其极限位置。该圆方程为 $(x-2{)}^2+y^2=4$，其半径 $R=2$，面积 $S=4\pi$。这种**“先取极限再定圆”**的直观几何法可作为本题的快速秒杀技巧。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 17.01 圆的方程与圆系理论

类题演练 (Links)

• 1977-内蒙古理-04 解-直线与圆相切
• 1977-山西-08 解-直线与圆相切
• 1977-福建文-04 解-抛物线与圆切线