2003-上海卷理-10 填-函数的单调性

本题导读

本题考查超越方程的近似解求解。通过分析函数的单调性确定根的唯一性，再利用零点存在性定理通过逐步试值逼近，将根锁定在要求的精确度范围内。

📌【题干】

Question

（2003年上海卷(理)） 方程 $x^3+\lg x=18$ 的根 $x\approx$ ________.（结果精确到 0.1）

🔍【思路分析】

破题导航

1. 构造函数与分析单调性：令 $f(x)=x^3+\lg x-18$。因为 $y=x^3$ 在 $(0,+\infty )$ 上单调递增，$y=\lg x$ 在 $(0,+\infty )$ 上单调递增，所以 $f(x)$ 在定义域 $(0,+\infty )$ 上是严格单调递增函数。这意味着方程若有实根，则必唯一。
2. 粗略估值（确定整数区间）：通过带入常见的整数进行试验。
   • 当 $x=2$ 时，$2^3=8$，$\lg 2$ 很小，显然 $f(2)<0$；
   • 当 $x=3$ 时，$3^3=27$，显然 $f(3)>0$。 由此可知，根在区间 $(2,3)$ 内。
3. 精细逼近（精确到 0.1）：由于 $2.5^3=15.625$，接近 $18$，可在 $2.5$ 附近取值试算，通过判断端点函数值的正负符号，缩小根所在的区间，直到区间长度小于 $0.1$ 或能明确四舍五入后的值。

✅【答案】

Success

$2.6$

✍【详细解析】

Abstract

设 $f(x)=x^3+\lg x-18$，其定义域为 $(0,+\infty )$。 易知 $f(x)$ 在 $(0,+\infty )$ 上单调递增。

开始试值逼近：

• 取 $x=2.6$，则： $2.6^3=17.576$ $f(2.6)=17.576+\lg 2.6-18=\lg 2.6-0.424$ 因为 $\lg 2.6<\lg \sqrt{10}=0.5$（实际 $\lg 2.6\approx 0.415$）， 所以 $f(2.6)=0.415-0.424=-0.009<0$。

• 取 $x=2.7$，则： $2.7^3=19.683$ $f(2.7)=19.683+\lg 2.7-18=1.683+\lg 2.7>0$

由此可知，方程的唯一实根 $x_0\in (2.6,2.7)$。 为了确定四舍五入到 $0.1$ 的值，需要考察中点 $x=2.65$ 处的符号： $2.65^3=18.609625>18$ 而 $\lg 2.65>0$，因此显然有 $f(2.65)>0$。 由于 $f(2.6)<0$ 且 $f(2.65)>0$，所以实根 $x_0\in (2.6,2.65)$。 按照四舍五入原则，该区间内所有的数精确到 $0.1$ 均为 $2.6$。

故答案为 $2.6$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：连续函数的单调性及零点存在性定理（若 $f(a)\cdot f(b)<0$，则在 $(a,b)$ 内至少存在一个零点）。
2. 核心方法：二分法与逐步逼近法。在没有计算器的情况下，利用常用对数的范围（如 $\lg 2\approx 0.3010$，$\lg 3\approx 0.4771$）进行合理的估值。
3. 避坑指南：精确度判断失误。部分考生在确定根在 $(2.6,2.7)$ 之间后，就盲目猜测是 $2.6$ 还是 $2.7$，正确做法是必须计算中点 $2.65$ 的函数值符号，以此判定根更靠近 $2.6$ 还是 $2.7$。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 本题主要考查计算工具普及前，解析几何与代数中对“数值逼近”思想的掌握，是现行新教材中“二分法求方程近似解”的直接原型。
2. 结论推广: 对于形如 $x^n+{\log }_{a}x=b$ ($n\ge 1,a>1$) 的超越方程，一般无法通过初等代数方法求出精确解析解，常借助牛顿迭代法求近似解，其迭代公式为： $x_{n+1}=x_n-\frac{f(x_n)}{f^{\prime }(x_n)}$

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 05.02 函数的四大性质

类题演练 (Links)

• 2006-上海卷理-22 解-复杂多元函数的单调性应用
• 2006-北京卷理-05 单-一次函数的单调性
• 2012-广东卷(理)-04 单-函数奇偶性