2003-上海卷理-08 填-等比数列的前n项和

本题导读

本题考查等比数列前 $n$ 项和与无穷各项和（即所有项的和）的大小关系。理解“各项和”的存在性是解决本题的突破口，重点考查对无穷递缩等比数列极限概念的理解与开放性题目的求解。

📌【题干】

Question

（2003年上海卷(理)） 若首项为 $a_1$，公比为 $q$ 的等比数列 $\{a_n\}$ 的前 $n$ 项和总小于这个数列的各项和，则首项 $a_1$，公比 $q$ 的一组取值可以是 $(a_1,q)=$ ________.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 理解“各项和”： 只有当公比满足 $|q|<1$ 时，无穷等比数列的各项和（所有项之和）才存在，其极限形式为 $S=\frac{a_1}{1-q}$。
2. 构建不等式： 题目要求“前 $n$ 项和总小于各项和”，说明对于任意的 $n\in {\mathbb{N}}^{\ast }$，均有 $S_n<S$ 恒成立。
3. 分析符号结构： $S-S_n=\frac{a_1}{1-q}-\frac{a_1(1-q^n)}{1-q}=\frac{a_1{q}^n}{1-q}>0$ 由于 $|q|<1$，故分母 $1-q>0$ 恒成立。因此要使上式对任意 $n$ 恒大于 0，分子 $a_1{q}^n$ 必须恒大于 0。
4. 确定取值范围并构造特值： * 若 $a_1>0$，则要求 $q^n>0$ 恒成立，由于 $n$ 可奇可偶，必须有 $0<q<1$；
   • 若 $a_1<0$，则要求 $q^n<0$ 恒成立，这在 $n$ 为偶数时无法满足。 综合可知，只需满足 $a_1>0$ 且 $0<q<1$ 即可。据此构造一组符合条件的具体数值。

✅【答案】

Success

$\left(1,\frac{1}{2}\right)$

✍【详细解析】

Abstract

因为该等比数列存在“各项和”（即所有项的和 $S$）， 所以公比 $q$ 必须满足 $|q|<1$。 此时，该数列的各项和为： $S=\frac{a_1}{1-q}$ 其前 $n$ 项和为： $S_n=\frac{a_1(1-q^n)}{1-q}$ 根据题意，对任意 $n\in {\mathbb{N}}^{\ast }$，“前 $n$ 项和总小于这个数列的各项和”即 $S_n<S$ 恒成立， $S-S_n>0⟺\frac{a_1}{1-q}-\frac{a_1(1-q^n)}{1-q}>0⟺\frac{a_1{q}^n}{1-q}>0$ 因为 $|q|<1$，所以 $1-q>0$ 恒成立。 要使 $a_1{q}^n>0$ 对任意 $n\in {\mathbb{N}}^{\ast }$ 恒成立： 若 $q\in (-1,0)$，则当 $n$ 为奇数时 $q^n<0$，此时必须 $a_1<0$；但当 $n$ 为偶数时 $q^n>0$，导致 $a_1{q}^n<0$ 矛盾。 若 $q\in (0,1)$，则对任意 $n\in {\mathbb{N}}^{\ast }$ 均有 $q^n>0$，此时只需 $a_1>0$ 即可。 综上所述，首项与公比只需满足：$a_1>0$ 且 $0<q<1$。

由此可以构造一组特值，如：$a_1=1,q=\frac{1}{2}$。

故答案为 $\left(1,\frac{1}{2}\right)$（答案不唯一，只要满足 $a_1>0$ 且 $0<q<1$ 的任意实数对均正确）。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：无穷递缩等比数列的各项和公式 $S=\frac{a_1}{1-q}$ （条件是 $|q|<1$）；恒成立问题的代数转化。
2. 核心方法：公式差值法与特值构造法。通过计算 $S-S_n$ 的通用表达式，再根据因式符号对变量范围进行约束，最后“任取一解”作为答案。
3. 避坑指南：
   • 误解“各项和”：误将各项和理解为常规的 $S_n$，导致无法下手。
   • 忽略 $n$ 的任意性：在判断 $a_1{q}^n>0$ 时，容易忽略 $n$ 可以取奇数和偶数，从而盲目认为 $q$ 可以为负数。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 本题考查高等数学中“无穷级数收敛性”在高中阶段的渗透（旧教材中的无穷递缩等比数列章节），是一道结论开放的创新填空题。
2. 结论推广: 若条件改为“前 $n$ 项和总大于这个数列的各项和”（即 $S_n>S$ 恒成立），则要求 $S-S_n=\frac{a_1{q}^n}{1-q}<0$ 恒成立。同理可推导其充要条件为：$a_1<0$ 且 $0<q<1$。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 19.02 等比数列全总结

类题演练 (Links)

• 2006-四川文-17 解-Sn递推求通项与等差
• 2006-陕西文-20 解-Sn递推求通项
• 2004-浙江文-17 解-数列通项与等比