2003-上海卷理-05 填-正四棱锥的几何性质

本题导读

本题考查立体几何中异面直线所成角的求解。通过正四棱锥底面边的平行关系，将异面直线所成的角平移转化为同一个三角形内的线线交角，再结合侧面与底面所成二面角的几何关系进行定量计算。

📌【题干】

Question

（2003年上海卷(理)） 在正四棱锥 $P-ABCD$ 中，若侧面与底面所成二面角的大小为 $60^{\circ }$，则异面直线 $PA$ 与 $BC$ 所成角的大小等于 ________.（结果用反三角函数值表示）

🔍【思路分析】

破题导航

1. 寻找平行线进行平移：在正四棱锥 $P-ABCD$ 中，底面 $ABCD$ 是正方形，因此 $BC\parallel AD$。根据异面直线所成角的定义，异面直线 $PA$ 与 $BC$ 所成的角，等价于相交直线 $PA$ 与 $AD$ 所成的角（即 $\angle PAD$ 或其补角）。
2. 构建二面角的平面角：取 $AD$ 的中点 $E$ 和 $BC$ 的中点 $F$，连接 $PE,PF,EF$。由于是正四棱锥，高线投影在底面中心 $O$。$\angle PFO$ 或 $\angle PEO$ 即为侧面与底面所成二面角的平面角，其大小为 $60^{\circ }$。
3. 定量计算定量边长：设正方形底面边长为 $2a$，利用直角三角形求出棱锥的高及侧棱、侧面斜高。
4. 计算目标角：在 $△PAD$ 或直角三角形中，利用勾股定理和锐角三角函数求出 $\angle PAD$ 的值。

✅【答案】

Success

$\arccos \frac{\sqrt{5}}{5}$

✍【详细解析】

Abstract

因为底面 $ABCD$ 是正方形， 所以 $BC\parallel AD$。 由此可知，异面直线 $PA$ 与 $BC$ 所成的角就是直线 $PA$ 与 $AD$ 所成的角 $\angle PAD$（由于 $△PAD$ 是等腰三角形，该角必为锐角）。

设底面正方形的边长 $AB=BC=CD=AD=2a$。 取 $AD$ 的中点 $E$，连接 $PE$。由于 $PA=PD$，所以 $PE\perp AD$。 取 $BC$ 的中点 $F$，连接 $EF,PF$。则 $EF=2a$，且 $EF\parallel AB$。 设底面中心为 $O$，连接 $PO$。因为 $P-ABCD$ 是正四棱锥，所以 $PO\perp$ 底面 $ABCD$。 此时 $O$ 为 $EF$ 的中点，$OE=a$。且 $PO\perp OE$。 因为 $PE\perp AD$ 且 $OE\perp AD$， 所以 $\angle PEO$ 为侧面 $PAD$ 与底面 $ABCD$ 所成二面角的平面角，即 $\angle PEO=60^{\circ }$。

在 Rt$△POE$ 中： $PE=\frac{OE}{\cos 60^{\circ }}=\frac{a}{\frac{1}{2}}=2a$

在 Rt$△PEA$ 中，$AE=\frac{1}{2}AD=a$，$PE\perp AE$： 根据勾股定理得： $PA=\sqrt{P{E}^2+A{E}^2}=\sqrt{(2a{)}^2+a^2}=\sqrt{5}a$ 在 Rt$△PEA$ 中，求 $\angle PAE$（即 $\angle PAD$）的余弦值： $\cos \angle PAD=\frac{AE}{PA}=\frac{a}{\sqrt{5}a}=\frac{\sqrt{5}}{5}$

因为 $\angle PAD\in \left(0,\frac{\pi }{2}\right)$， 所以 $\angle PAD=\arccos \frac{\sqrt{5}}{5}$。

故答案为 $\arccos \frac{\sqrt{5}}{5}$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：异面直线所成角定义（平移法）；二面角的平面角的作法（三垂线定理及其逆定理）。
2. 核心方法：设而不求（设参消参法）。通过引入底面边长 $2a$ 作为辅助计算的“桥梁”，在最后的三角函数比值中 $a$ 会被自然约去，从而降低了抽象推导的难度。
3. 避坑指南：
   • 找错平移线：切勿盲目作复杂的辅助线，底面正方形自带的平行关系（$BC\parallel AD$）是最直接的突破口。
   • 误将侧棱与底面所成角当成二面角：题目给的是“侧面与底面所成二面角（$60^{\circ }$）”，其平面角是斜高 $PE$ 与底面内直线 $OE$ 的夹角，而不是侧棱 $PA$ 与底面的夹角 $\angle PAO$。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 本题属于立体几何多面体计算的经典教材改编题，重点在于考查“线线角”、“线面角”与“面面角”三者之间的代数互化关系。
2. 结论推广: 在正四棱锥中，若侧面与底面所成的二面角为 $\alpha$，异面直线 $PA$ 与 $BC$ 所成的角（即侧面等腰三角形的底角）为 $\beta$。通过本题的推导步骤可以得出两者的通用函数关系公式： $\cos \beta =\frac{1}{\sqrt{1+\frac{1}{{\cos }^2\alpha }}}$ 将 $\alpha =60^{\circ }$ 代入上式，可得 $\cos \beta =\frac{1}{\sqrt{1+4}}=\frac{1}{\sqrt{5}}=\frac{\sqrt{5}}{5}$，即 $\beta =\arccos \frac{\sqrt{5}}{5}$。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 13.01 空间几何体的结构、表面积与体积

类题演练 (Links)

• 1955-全国-01 解-四小问综合（韦达余弦棱锥定义）
• 1988-广东文-08 单-异面直线的性质
• 1988-广东理-06 单-异面直线的性质