2003-上海卷理-02 填-三角方程的解法

本题导读

本题考查三角方程的基本解法以及三角函数自变量取值范围的控制，意在考查基础的运算求解能力与严谨的代数化简能力。

📌【题干】

Question

（2003年上海卷(理)） 若 $x=\frac{\pi }{3}$ 是方程 $2\cos (x+\alpha )=1$ 的解，其中 $\alpha \in (0,2\pi )$，则 $\alpha =$ ________.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 将方程的解 $x=\frac{\pi }{3}$ 直接代入原方程，转化为关于 $\alpha$ 的三角方程 $\cos \left(\frac{\pi }{3}+\alpha \right)=\frac{1}{2}$。
2. 结合已知条件 $\alpha \in (0,2\pi )$，确定整体角 $\frac{\pi }{3}+\alpha$ 的取值范围。
3. 在该范围内求解出 $\frac{\pi }{3}+\alpha$ 的可能值，进而求得 $\alpha$ 的值。

✅【答案】

Success

$\frac{4\pi }{3}$

✍【详细解析】

Abstract

将 $x=\frac{\pi }{3}$ 代入方程 $2\cos (x+\alpha )=1$ 得： $\cos \left(\frac{\pi }{3}+\alpha \right)=\frac{1}{2}$ 因为 $\alpha \in (0,2\pi )$， 所以 $\frac{\pi }{3}+\alpha \in \left(\frac{\pi }{3},\frac{7\pi }{3}\right)$。 在此区间内，满足 $\cos \theta =\frac{1}{2}$ 的角 $\theta$ 有： $\frac{\pi }{3}+\alpha =\frac{5\pi }{3}\text{或}\frac{\pi }{3}+\alpha =\frac{7\pi }{3}$ 解得： $\alpha =\frac{4\pi }{3}\text{或}\alpha =2\pi$ 又因为 $\alpha \in (0,2\pi )$（不包含 $2\pi$）， 所以舍去 $\alpha =2\pi$，故 $\alpha =\frac{4\pi }{3}$。

故答案为 $\frac{4\pi }{3}$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：简单三角方程 $\cos \theta =a$ 的解法及余弦函数的周期性。
2. 核心方法：整体法与范围控制法。将 $\frac{\pi }{3}+\alpha$ 视作一个整体，先求出整体范围，再精准找解。
3. 避坑指南：漏解或多解。部分考生易漏掉第四象限的解 $\frac{5\pi }{3}$，或者在求出 $\alpha =2\pi$ 后忽略了开区间 $\alpha \in (0,2\pi )$ 的限制导致多解。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 本题考查基本的三角方程求解，属于高考试卷开篇的送分基础题，主要测试对终边相同角的映射掌握情况。
2. 结论推广: 方程 $\cos x=\cos \alpha$ 的通解公式为 $x=2k\pi \pm \alpha$ ($k\in \mathbb{Z}$)。在处理此类有特定区间约束的题目时，务必先不等式同向相加确定新变量范围，再代入 $k$ 值筛选合题意的解。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 03.01 不等式解法体系

类题演练 (Links)

• 1953-全国-06 解-二倍角余弦求通解
• 1952-全国-14 填-正切二倍角方程通解
• 1954-全国-04 解-正切分式方程通解