2003-上海卷理-01 填-两角和的正弦公式

本题导读

本题考查三角恒等变换中的两角和的正弦公式以及正弦函数最小正周期的求解，意在考查基础运算与公式变形能力。

📌【题干】

Question

（2003年上海卷(理)） 函数 $y=\sin x\cos \left(x+\frac{\pi }{4}\right)+\cos x\sin \left(x+\frac{\pi }{4}\right)$ 的最小正周期 $T=$ ________.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 观察函数式结构，形如 $\sin \alpha \cos \beta +\cos \alpha \sin \beta$，可利用两角和的正弦公式进行化简。
2. 令 $\alpha =x$，$\beta =x+\frac{\pi }{4}$，将其合并为一个单一的正弦型函数 $y=A\sin (\omega x+\phi )$。
3. 利用正弦型函数的周期公式 $T=\frac{2\pi }{|\omega |}$ 计算出最小正周期。

✅【答案】

Success

$\pi$

✍【详细解析】

Abstract

根据两角和的正弦公式 $\sin \alpha \cos \beta +\cos \alpha \sin \beta =\sin (\alpha +\beta )$， 原函数可化简为： $y=\sin \left[x+\left(x+\frac{\pi }{4}\right)\right]$ $y=\sin \left(2x+\frac{\pi }{4}\right)$ 因为自变量 $x$ 的系数 $\omega =2$， 所以该函数的最小正周期为： $T=\frac{2\pi }{2}=\pi$ 故答案为 $\pi$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：两角和的正弦公式 $\sin (\alpha +\beta )=\sin \alpha \cos \beta +\cos \alpha \sin \beta$；正弦型函数 $y=A\sin (\omega x+\phi )$ 的最小正周期公式 $T=\frac{2\pi }{|\omega |}$。
2. 核心方法：整体法。将 $x$ 和 $x+\frac{\pi }{4}$ 视作整体变形，避免展开后进行繁琐的二次降幂与辅助角公式化简。
3. 避坑指南：切忌盲目展开。若直接将 $\cos \left(x+\frac{\pi }{4}\right)$ 和 $\sin \left(x+\frac{\pi }{4}\right)$ 用两角差/和公式展开，虽然也能通过因式分解与二倍角公式求出答案，但运算量极大且极易出错。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 本题为三角函数章末的基础标准测试题，直接考查对核心公式的逆向识别与应用。
2. 结论推广: 对于更一般的形式 $y=\sin ({\omega }_{1}x+{\varphi }_1)\cos ({\omega }_{2}x+{\varphi }_2)+\cos ({\omega }_{1}x+{\varphi }_1)\sin ({\omega }_{2}x+{\varphi }_2)$，当且仅当 ${\omega }_1+{\omega }_2\ne 0$ 时，其可以化简为 $y=\sin [({\omega }_1+{\omega }_2)x+({\varphi }_1+{\varphi }_2)]$，其最小正周期为 $T=\frac{2\pi }{|{\omega }_1+{\omega }_2|}$。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 10.01 两角和与差及辅助角公式

类题演练 (Links)

• 2025-新高考I卷-05 单-函数性质
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