2003-上海文-12 填-双曲线焦点距离

本题导读

本题考查双曲线的定义，以及焦半径的取值范围。

📌【题干】

Question

（2003年上海卷(文)） 给出问题：$F_1$，$F_2$ 是双曲线 $\frac{x^2}{16}-\frac{y^2}{20}=1$ 的焦点，点 $P$ 在双曲线上.若点 $P$ 到焦点 $F_1$ 的距离等于 $9$，求点 $P$ 到焦点 $F_2$ 的距离.某学生的解答如下：双曲线的实轴长为 $8$，由 $||P{F}_1|-|P{F}_2||=8$，即 $|9-|P{F}_2||=8$，得 $|P{F}_2|=1$ 或 $17$.该学生的解答是否正确？若正确，请将他的解题依据填在下面空格内，若不正确，将正确的结果填在下面空格内 $\underline{}$.

🔍【思路分析】

破题导航

1. $|P{F}_2|=1$ 或 $17$ 中须舍去非法值。
2. 双曲线上点到焦点距离 $\ge c-a=2$，故舍 $1$。

✅【答案】

Success

$|P{F}_2|=17$

✍【详细解析】

Abstract

该学生的解答不正确。双曲线中 $a=4$，$c=\sqrt{16+20}=6$，双曲线上任一点到焦点距离的最小值为 $c-a=2$，故 $|P{F}_2|=1$ 不可能，正确结果为 $|P{F}_2|=17$.

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：双曲线焦点距离
2. 核心方法：$||P{F}_1|-|P{F}_2||=2a=8$，$|P{F}_1|=9$ 得 $|P{F}_2|=1$ 或 $17$；又 $|P{F}_2|\ge c-a=2$，舍 $1$，故 $|P{F}_2|=17$
3. 避坑指南：双曲线上点到焦点距离有下界 $c-a$，舍去非法根

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 源于教材双曲线定义
2. 结论推广: 一般地，双曲线上的点到焦点距离不小于 $c-a$；双曲线定义列方程，舍去非法根

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 18.02 双曲线专题全总结

类题演练 (Links)

• 2004-福建文-12 单-双曲线定义应用
• 2007-湖北文-12 填-双曲线定义与方程
• 2008-重庆文-21 解-双曲线定义与焦半径