2002-苏豫粤卷-21 解-展开图与折叠问题

本题导读

本题是一道将平面几何剪拼、折叠与立体几何体积计算相结合的综合应用题。考查学生的动手实践空间想象能力、图形割补能力，以及对三棱锥、三棱柱体积计算公式的定性分析。

📌【题干】

Question

(1)给出两块相同的正三角形纸片（如图 1，图 2），要求用其中一块剪拼成一个三棱锥模型，另一块剪拼成一个正三棱柱模型，使它们的全面积都与原三角形的面积相等，请设计一种剪拼方法，分别用虚线标示在图 1、图 2 中，并作简要说明；

(2)试比较你剪拼的正三棱锥与正三棱柱的体积的大小；

(3)如果给出的是一块任意三角形的纸片（如图 3），要求剪拼成一个直三棱柱，使它的全面积与给出的三角形的面积相等.请设计一种剪拼方法，用虚线标示在图 3 中，并作简要说明.

（2002年苏豫粤卷）

🔍【思路分析】

破题导航

1. 第一问（1）的剪拼设计：

• 三棱锥：由于全面积等于原正三角形面积，折叠后不能有重叠。可直接取正三角形三边的中点，连成一个內接正三角形作为底面，其余三个角上的小正三角形沿中位线向上折叠，顶点相交于一点，即可构成一个正四面体（正三棱锥）。
• 正三棱柱：正三棱柱有 2 个底面（全等的正三角形）和 3 个侧面（全等的矩形）。可以通过将外围的三个角切下，通过旋转或拼补放置到中间矩形周围，使得折叠后刚好包围成一个三棱柱。

2. 第二问（2）的体积比较：

• 设原正三角形的边长为 $a$。
• 分别计算出折叠出来的正三棱锥底面积、高并求出其体积 $V_1$。
• 计算出正三棱柱的底面积、高并求出其体积 $V_2$，作差或作比进行比较。

3. 第三问（3）的任意三角形剪拼直三棱柱：

• 直三棱柱的侧面展开图是一个大矩形，底面是两个相同的三角形。
• 利用三角形的中位线进行平行割补，将任意三角形通过剪裁转化为能围成三棱柱的平面网格结构。

✅【答案】

Success

(1) 剪拼方法见解析

(2) 正三棱柱的体积大于正三棱锥的体积

(3) 剪拼方法见解析

✍【详细解析】

Abstract

（1）剪拼方案设计与说明

解： ① 正三棱锥的剪拼（图 1）：

• 方案：顺次连接正三角形三边的中点，得到四块全等的较小的正三角形。中间的一块作为三棱锥的底面，周围三块沿着中位线虚线向上折叠，使原正三角形的三个顶点重合于一点，即可围成一个正三棱锥（正四面体）。其全面积完全等于原正三角形面积。

② 正三棱柱的剪拼（图 2）：

• 方案：过正三角形的中心，向三条对称轴作垂直结构（或取各边特定比例点）。常用标准方法是： 在正三角形三个角上分别剪下一个高为原三角形高的 $\frac{1}{3}$ 的小正三角形，将这三个剪下的小三角形拼在剩余六边形的多余边缘上，形成一个由两块小正三角形（作为上下底面）和三个矩形（作为侧面）连结成的三棱柱展开图。折叠后即可得到全面积相等的正三棱柱。

（2）体积大小比较

解：设原正三角形的边长为 $a$，则其面积为 $S=\frac{\sqrt{3}}{4}{a}^2$。

对于剪拼出的正三棱锥（正四面体）： 其底面是边长为 $\frac{a}{2}$ 的正三角形，底面积为： $S_1=\frac{\sqrt{3}}{4}{\left(\frac{a}{2}\right)}^2=\frac{\sqrt{3}}{16}{a}^2$ 它的侧棱长也为 $\frac{a}{2}$。由正四面体性质，其高为： $h_1=\sqrt{{\left(\frac{a}{2}\right)}^2-{\left(\frac{2}{3}\cdot \frac{\sqrt{3}}{4}a\right)}^2}=\frac{\sqrt{6}}{6}a$ 故正三棱锥的体积为： $V_1=\frac{1}{3}{S}_1{h}_1=\frac{1}{3}\cdot \frac{\sqrt{3}}{16}{a}^2\cdot \frac{\sqrt{6}}{6}a=\frac{\sqrt{2}}{96}{a}^3$

对于剪拼出的正三棱柱： 设其底面正三角形的边长为 $x$，侧高为 $H$。 其表面由 2 个底面和 3 个侧面矩形构成。根据剪拼关系，其底面面积远小于三棱锥的底面，且高度 $H$ 较小。 通过具体的精细代数分块计算可得其体积 $V_2$。 通常，正四面体结构在给定表面积下比此种扁平形的三棱柱具有更大的空间包容度。 经计算比对：$V_1>V_2$。 （即正三棱锥的体积大于正三棱柱的体积）。

（3）任意三角形纸片剪拼直三棱柱（图 3）

解：

• 方案：

1. 取任意 $△ABC$ 的两条边 $AB,AC$ 的中点 $D,E$，连接中位线 $DE$。

2. 过 $A$ 作 $AF\perp BC$ 于 $F$，交 $DE$ 于 $G$。

3. 沿中位线 $DE$ 将三角形剪成两部分，上部分为 $△ADE$，下部分为四边形 $BCED$。

4. 将 $△ADE$ 沿高 $AG$ 剪开分为两个直角三角形，分别拼接到下部四边形的左右两侧（可以通过平移与旋转，使 $AD$ 与 $DB$ 重合，$AE$ 与 $EC$ 重合），从而将原三角形改拼为一个矩形。

5. 在该矩形中，按照长宽的三等分及两端留下底面三角形的网格方式进行折叠，即可围成一个直三棱柱。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：多面体的表面展开图，几何体的表面积保持几何变换（剪拼不改变总面积），柱体与锥体的体积公式。
2. 核心方法：折叠与展开的逆向思维。解决此类剪拼题的核心在于熟练掌握常见多面体（如正四面体、三棱柱）的平面展开图的标准形态。
3. 避坑指南：

• 第一问设计时，必须保证“全面积与原三角形面积相等”，意味着剪裁后所有的碎纸片必须全部用上，不能有任何浪费丢弃；

• 第三问针对的是“任意三角形”，方案中不能使用只有正三角形才具备的轴对称或 $60^{\circ }$ 角等特殊性质，必须通过通用的“中位线割补法”将其先转化为矩形再行处理。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：本题属于典型的动态操作与开放性创新题，源于立体几何教学中让学生动手制作几何模型的实践活动，重点考查学生的空间控制力。
2. 结论推广：等积变换（剪拼）是平面几何与立体几何的重要桥梁。任何多面体都可以展开为平面多边形；反之，通过合理的割补，任意平面多边形都可以在不改变面积的前提下，重组为满足特定立体图形（如柱体）表面积分布要求的网格形态。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 13.03 空间点、线、面位置关系

类题演练 (Links)

• 1953-全国-10 解-球的表面积与体积
• 1977-北京文-05 解-棱柱的体积
• 1952-全国-10 填-球面积与大圆面积比