本题导读
本题考查立体几何中棱锥的体积计算以及二面角的证明。第一问关键在于利用三垂线定理找出二面角的平面角，进而求出四棱锥的高；第二问要求证明二面角恒大于 ，可以通过空间直角坐标系建立函数关系或利用平面几何性质进行定性与定量分析。
📌【题干】
Question
（2002年苏豫粤卷） 四棱锥 的底面是边长为 的正方形， 平面 .
(1)若面 与面 所成的二面角为 ，求这个四棱锥的体积；
(2)证明无论四棱锥的高怎样变化，面 与面 所成的二面角恒大于 .
🔍【思路分析】
破题导航
- 寻找第一问的二面角平面角：
- 已知 平面 ，。由三垂线定理知 。
- 因此， 即为面 与面 所成二面角的平面角，即 ，从而可在 中求出高 。
- 第二问的向量法（坐标法）构建：
- 以 为原点， 分别为 轴建立空间直角坐标系。
- 设 ，写出各点坐标，求出平面 与平面 的法向量 。
- 计算两法向量点积的余弦值 ，通过其符号判定二面角是锐角还是钝角。
✅【答案】
Success
(1) 体积为
(2) 证明见解析
✍【详细解析】
Abstract
（1）求解四棱锥的体积
解：因为 平面 ，且底面 是正方形， 所以 且 。 又 ，所以 平面 ，进而得 。 因此， 是面 与面 所成二面角的平面角。 由题意知 。
在 中，，则四棱锥的高为：
底面正方形 的面积为：
故该四棱锥的体积为：
（2）证明二面角恒大于
证法一（空间向量法）： 以 为坐标原点，射线 分别为 轴、 轴、 轴的正方向建立空间直角坐标系 。 设四棱锥的高 ，底面边长为 。 则各点坐标为：
从而可得相关向量：
设平面 的一个法向量为 ，则：
\boldsymbol{n}_1 \cdot \overrightarrow{PA} = a y_1 - h z_1 = 0 \\ \boldsymbol{n}_1 \cdot \overrightarrow{AD} = a x_1 = 0 \end{cases}$$ 取 $z_1 = a$，则 $y_1 = h, x_1 = 0$，得 $\boldsymbol{n}_1 = (0, h, a)$。 设平面 $PCD$ 的一个法向量为 $\boldsymbol{n}_2 = (x_2, y_2, z_2)$，则： $$\begin{cases} \boldsymbol{n}_2 \cdot \overrightarrow{PC} = a x_2 - h z_2 = 0 \\ \boldsymbol{n}_2 \cdot \overrightarrow{CD} = a y_2 = 0 \end{cases}$$ 取 $z_2 = a$，则 $x_2 = h, y_2 = 0$，得 $\boldsymbol{n}_2 = (h, 0, a)$。 设面 $PAD$ 与面 $PCD$ 所成二面角为 $\theta$。由图可知 $\theta$ 为钝角，其对应的法向量夹角余弦值为： $$\cos\langle\boldsymbol{n}_1, \boldsymbol{n}_2\rangle = \frac{\boldsymbol{n}_1 \cdot \boldsymbol{n}_2}{|\boldsymbol{n}_1| \cdot |\boldsymbol{n}_2|} = \frac{0 \cdot h + h \cdot 0 + a \cdot a}{\sqrt{h^2 + a^2} \cdot \sqrt{h^2 + a^2}} = \frac{a^2}{h^2 + a^2}$$ 因为 $a > 0, h > 0$，所以 $\frac{a^2}{h^2 + a^2} > 0$。 由于选取的法向量 $\boldsymbol{n}_1$ 和 $\boldsymbol{n}_2$ 的方向均指向二面角的内部（或外部），此时二面角的平面角 $\theta$ 与法向量夹角互补，即： $$\cos\theta = -\cos\langle\boldsymbol{n}_1, \boldsymbol{n}_2\rangle = -\frac{a^2}{h^2 + a^2}$$ 因为 $h^2 + a^2 > a^2 > 0$，所以 $-1 < -\frac{a^2}{h^2 + a^2} < 0$。 即 $\cos\theta < 0$，由于 $\theta \in [0^\circ, 180^\circ]$，故 $\theta > 90^\circ$。 所以无论四棱锥的高 $h$ 怎样变化，面 $PAD$ 与面 $PCD$ 所成的二面角恒大于 $90^\circ$。 **证法二（几何法）：** 在平面 $PAB$ 内，过 $B$ 作 $BE \perp PA$ 于 $E$。 因为 $AD \perp$ 平面 $PAB$，且 $BE \subset$ 平面 $PAB$，所以 $AD \perp BE$。 又 $PA \cap AD = A$，故 $BE \perp$ 平面 $PAD$。 同理，在平面 $PBC$ 内，过 $B$ 作 $BF \perp PC$ 于 $F$，可证 $BF \perp$ 平面 $PCD$。 过 $B$ 作平面 $BEG \perp PD$ 交 $PD$ 于 $G$，连接 $EG, FG$。 根据面面垂直与射影关系，可推得 $\angle EGF$ 即为二面角的平面角（或其补角）。 在 $\triangle EBF$ 中，由于 $BE \perp$ 平面 $PAD$ 且 $BF \perp$ 平面 $PCD$，可知 $\angle EBF$ 与该二面角互补。 而在 $\triangle ABC$ 中，由于 $\angle ABC = 90^\circ$，通过垂直投影缩放可知 $BE < a, BF < a$ 且 $EF$ 的关联结构使得 $\triangle EBF$ 中 $\angle EBF$ 始终为锐角。 因为二面角与该锐角互补，所以二面角恒为钝角，即大于 $90^\circ$。
💡【考点归纳与避坑指南】
Danger
- 核心考点：棱锥体积公式 的应用，以及利用空间向量或平面几何寻找、计算二面角。
- 核心方法：空间坐标法（坐标建系法）。对于此类含有两两垂直基线的立体图形（如本题中的 ），建系用向量运算可有效规避传统几何法中复杂的作图与证明步骤。
- 避坑指南：
第一问找二面角平面角时，必须严格证明 ，不可直接根据直观感觉断定 为二面角；
第二问使用向量法时，计算出法向量夹角余弦值为正数后，必须结合图形判断法向量是指向内部还是外部，从而正确转化出二面角平面角的余弦值。
📖【试题探源与推广】
Tip
- 试题探源：本题属于经典的立体几何高考大题，主要考查线面垂直与面面位置关系的定性分析与定量计算。
- 结论推广：若直角多面体中，一侧棱垂直于正方形底面，则与该侧棱相对的两个侧面（如本题中的面 与面 ）所构成的二面角 的余弦值公式为 。由于 且 ，该余弦值在 范围内恒为负数，故其二面角始终为钝角，范围为 。!
🔗【关联脉络】
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