2002-苏豫粤卷-17 解-复数的代数运算

本题导读

本题考查复数的基本代数运算及复数相等的充要条件。通过将已知复数 $z$ 及其共轭复数 $\bar{z}$ 代入等式，化简为复数的标准形式 $A+Bi$，利用实部与虚部对应相等建立关于实数 $a,b$ 的方程组求解。

📌【题干】

Question

（2002年苏豫粤卷） 已知复数 $z=1+\mathrm{i}$，求实数 $a,b$ 使 $az+2b\bar{z}=(a+2z{)}^2$.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 求出相关复数：由 $z=1+\mathrm{i}$ 得到共轭复数 $\bar{z}=1-\mathrm{i}$。
2. 分别化简等式两边：

• 将 $z$ 和 $\bar{z}$ 代入等式左边，按实部和虚部进行整理。
• 将 $z$ 代入等式右边，利用完全平方公式展开并化简为标准形式。

3. 建立方程组：根据复数相等的充要条件（实部等于实部，虚部等于虚部），列出关于 $a$ 和 $b$ 的二元方程组并求解。

✅【答案】

Success

$a=-2,b=-1$ 或 $a=-4,b=2$

✍【详细解析】

Abstract

解： 因为 $z=1+\mathrm{i}$，所以其共轭复数 $\bar{z}=1-\mathrm{i}$。

将 $z$ 与 $\bar{z}$ 代入等式的左边得： $\text{左边}=a(1+\mathrm{i})+2b(1-\mathrm{i})=a+a\mathrm{i}+2b-2b\mathrm{i}=(a+2b)+(a-2b)\mathrm{i}$

将 $z$ 代入等式的右边得： $\text{右边}=[a+2(1+\mathrm{i}){]}^2=[(a+2)+2\mathrm{i}{]}^2$ 利用完全平方公式展开： $\text{右边}=(a+2{)}^2+2\cdot (a+2)\cdot 2\mathrm{i}+(2\mathrm{i}{)}^2$ 因为 ${\mathrm{i}}^2=-1$，所以： $\text{右边}=(a^2+4a+4)+(4a+8)\mathrm{i}-4=(a^2+4a)+(4a+8)\mathrm{i}$

根据题意，左边等于右边，即： $(a+2b)+(a-2b)\mathrm{i}=(a^2+4a)+(4a+8)\mathrm{i}$

由于 $a,b$ 为实数，根据复数相等的充要条件，两边的实部与虚部必须分别相等，得方程组：

a + 2b = a^2 + 4a & \text{①} \\ a - 2b = 4a + 8 & \text{②} \end{cases}$$ 由②式变形得： $$2b = -3a - 8 \text{ ③}$$ 将③式代入①式消去 $2b$ 得： $$a + (-3a - 8) = a^2 + 4a$$ $$-2a - 8 = a^2 + 4a \implies a^2 + 6a + 8 = 0$$ 因式分解得： $$(a + 2)(a + 4) = 0 \implies a = -2 \quad \text{或} \quad a = -4$$ 将 $a$ 的值分别代入③式求解对应的 $b$： - 当 $a = -2$ 时，$2b = -3(-2) - 8 = -2 \implies b = -1$； - 当 $a = -4$ 时，$2b = -3(-4) - 8 = 4 \implies b = 2$。 综上所述，所求实数 $a, b$ 的值为： $$\begin{cases} a = -2 \\ b = -1 \end{cases} \quad \text{或} \quad \begin{cases} a = -4 \\ b = 2 \end{cases}$$

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：复数的四则运算规则（特别是 ${\mathrm{i}}^2=-1$ 的处理）以及复数相等的代数定义。
2. 核心方法：实虚部离析法。处理复数等式问题的通法是将未知式表达为 $A+Bi=C+Di$ 的形态，转化为实数方程组求解。
3. 避坑指南：

• 展开右边完全平方时，易漏掉虚部两倍乘积项中的系数或漏算 ${\mathrm{i}}^2=-1$ 导致的符号改变；

• 在列出方程组后，消元求解一元二次方程时需注意因式分解的符号正确性。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：本题属于高考中对复数概念考查的传统经典解答题。源于教材中对复数基本运算和复数相等的定义的练习要求。
2. 结论推广：对于任何关于未知实数 $a,b$ 的复数方程 $f(a,b,z)=g(a,z)$，只要 $z$ 确定，其本质都等价于直角坐标系中两曲线相交的问题，均可通过化为标准型 $F_1(a,b)+F_2(a,b)\mathrm{i}=0$ 从而恒等变形为实数方程组 $\{\begin{array}{l}{F}_1(a,b)=0\\ F_2(a,b)=0\end{array}$ 来解决。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 12.01 数系的扩充与复数

类题演练 (Links)

• 2014-福建卷理-01 单-共轭复数
• 1986-全国文-12 填-复数的运算
• 1987-广东文-26 填-复数的共轭