2002-苏豫粤卷-15 填-二倍角公式

本题导读

本题考查二倍角公式与同角三角函数关系的综合应用。重点在于利用二倍角公式将名不同的三角方程统一为关于 $\sin \alpha$ 的一元二次方程，再结合角的范围求解。

📌【题干】

Question

（2002年苏豫粤卷） 已知 $\sin \alpha =\cos 2\alpha$，$\alpha \in \left(\frac{\pi }{2},\pi \right)$，则 $\tan \alpha =$ $\underline{}$.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 统一三角函数名称：利用二倍角公式 $\cos 2\alpha =1-2{\sin }^2\alpha$，将已知方程转化为关于 $\sin \alpha$ 的一元二次方程。
2. 求解基本三角函数值：解该一元二次方程，求出 $\sin \alpha$ 的值。结合 $\alpha$ 所在象限的范围进行合理取舍。
3. 计算目标值：利用同角三角函数关系 ${\sin }^2\alpha +{\cos }^2\alpha =1$ 求出 $\cos \alpha$，进而通过 $\tan \alpha =\frac{\sin \alpha }{\cos \alpha }$ 算出结果。

✅【答案】

Success

$-\frac{\sqrt{3}}{3}$

✍【详细解析】

Abstract

解：由二倍角公式，将已知方程 $\sin \alpha =\cos 2\alpha$ 变形为： $\sin \alpha =1-2{\sin }^2\alpha$ 移项整理得一元二次方程： $2{\sin }^2\alpha +\sin \alpha -1=0$

对左边进行因式分解： $(2\sin \alpha -1)(\sin \alpha +1)=0$ 解得： $\sin \alpha =\frac{1}{2}\text{或}\sin \alpha =-1$

因为 $\alpha \in \left(\frac{\pi }{2},\pi \right)$，即 $\alpha$ 为第二象限角， 在第二象限内，正弦值严格大于 $0$，故： $\sin \alpha =\frac{1}{2}（\sin \alpha =-1\text{ 舍去}）$

根据同角三角函数关系式，且 $\alpha$ 为第二象限角（余弦值为负）： $\cos \alpha =-\sqrt{1-{\sin }^2\alpha }=-\sqrt{1-{\left(\frac{1}{2}\right)}^2}=-\frac{\sqrt{3}}{2}$

因此，目标正切值为： $\tan \alpha =\frac{\sin \alpha }{\cos \alpha }=\frac{\frac{1}{2}}{-\frac{\sqrt{3}}{2}}=-\frac{1}{\sqrt{3}}=-\frac{\sqrt{3}}{3}$

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：余弦二倍角公式的单名化变形（$\cos 2\alpha =1-2{\sin }^2\alpha$）及同角三角函数商数关系。
2. 核心方法：方程思想。将三角函数式视为整体代数元，化三角问题为代数方程。
3. 避坑指南：

• 在因式分解或十字相乘时注意系数对应的正负号；

• 必须严格依据条件 $\alpha \in \left(\frac{\pi }{2},\pi \right)$ 进行两处检验：一是排除 $\sin \alpha =-1$，二是确定 $\cos \alpha$ 与 $\tan \alpha$ 必须为负值。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：本题属于典型的三角恒等变换基础题，由教材中“二倍角的三角函数”及“三角方程的基本解法”相关习题改编而来。
2. 结论推广：若满足 $\sin \alpha =\cos 2\alpha$，在不限制区间的前提下，可化为 $\cos \left(\frac{\pi }{2}-\alpha \right)=\cos 2\alpha$。由余弦函数的对称性可得通解：$2\alpha =2k\pi \pm \left(\frac{\pi }{2}-\alpha \right),k\in \mathbf{Z}$。解得 $\alpha =\frac{2k\pi }{3}+\frac{\pi }{6}$ 或 $\alpha =2k\pi -\frac{\pi }{2}$。当 $k=1$ 时，$\alpha =\frac{5\pi }{6}\in \left(\frac{\pi }{2},\pi \right)$，代入即可直接得到 $\tan \frac{\pi }{6}$ 对应的第二象限值 $-\frac{\sqrt{3}}{3}$。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 10.02 倍角、降幂与升幂公式

类题演练 (Links)

• 2006-广东卷-15 解-辅助角三角最值
• 2006-重庆文-18 解-辅助角三角最值
• 1977-江西-07 填-二倍角求角