2002-苏豫粤卷-11 单-排列组合

本题导读

本题将立体几何模型与组合计数问题相结合，重点考查空间想象能力、逻辑分类能力以及运用对立事件进行“正难则反”的数学运算求解能力。

📌【题干】

Question

（2002年苏豫粤卷） 从正方体的 6 个面中选取 3 个面，其中有 2 个面不相邻的选法共有().

A. 8 种　　　　　B. 12 种　　　　　C. 16 种　　　　　D. 20 种

🔍【思路分析】

破题导航

1. 总选法数计算：从正方体 6 个面中任意选取 3 个面，属于无序组合，可直接利用组合数 $C_6^3$ 计算出总的方法数。
2. 分析相对位置关系：正方体的 6 个面中，任意两个面的位置关系只有两种：要么相邻（共一条棱），要么相对（平行且不相邻）。
3. 理解题意转化：“选取 3 个面，其中有 2 个面不相邻”意味着所选的 3 个面中至少包含一对相对的面。
4. 利用间接法求解：其对立事件是“选取的 3 个面中两两相邻（即没有任何两个面是不相邻的）”。在正方体中，两两相邻的 3 个面只能是共一个顶点的 3 个面，算出此种情况数后用总数减去即可。

✅【答案】

Success

B

✍【详细解析】

Abstract

解法一（间接法）： 从正方体的 6 个面中任意选取 3 个面的总选法数为： $N_{\text{总}}=C_6^3=\frac{6\times 5\times 4}{3\times 2\times 1}=20\text{ 种}$

其对立事件为“选取的 3 个面两两均相邻”。 在正方体中，要使 3 个面两两相邻，这 3 个面必须拥有一个公共顶点。 由于正方体一共有 8 个顶点，每一个顶点都唯一确定 3 个两两相邻的面（例如顶点 $A$ 关联上底面、前面、左侧面）。 因此，3 个面两两相邻的选法数等于正方体的顶点数，即： $N_{\text{两两相邻}}=8\text{ 种}$

根据补集思想，含有 2 个面不相邻（即包含相对面）的选法共有： $N=N_{\text{总}}-N_{\text{两两相邻}}=20-8=12\text{ 种}$

解法二（直接分类法）： “有 2 个面不相邻”即选出的 3 个面中包含 1 对相对的面（正方体中不可能同时包含 2 对相对的面，因为只有 3 个面）。 正方体共有 3 对相对的面（上下、左右、前后）。

1. 第一步：从 3 对相对的面中选出 1 对，方法数为 $C_3^1=3$ 种；

2. 第二步：从剩下的 4 个面中任选 1 个面，方法数为 $C_4^1=4$ 种。 根据分步乘法计数原理，符合条件的方法数为： $N=C_3^1\times C_4^1=3\times 4=12\text{ 种}$

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：组合计数的实际应用，正方体表面、顶点与棱的几何相对关系。
2. 核心方法：

• 间接排除法：当正面分类情况较多时，通过总数减去不合题意的情况数更为快捷；
• 空间结构向计数模型的转化：将“两两相邻”转化为“共顶点”。

3. 避坑指南：

• 极易混淆“有 2 个面不相邻”的文字含义，误以为是指“3 个面两两均不相邻”（正方体中两两不相邻的面最多只有 2 个，不可能有 3 个）；

• 直接法计数时，易出现重复计数或漏计，需要严格按照“先选相对面、再选独立面”的步序进行。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：本题由教材中排列组合的“摸球”、“选委员”等经典组合模型演变而来，将其置于正方体这一直观的立体几何载体中，是高考考查数形结合与逻辑推理的优秀代表题型。
2. 结论推广：若将正方体模型推广到常规问题中：

• 从正方体的 6 个面中任取 2 个面，相交（相邻）的概率为 $\frac{C_6^1\times 4}{2\times C_6^2}=\frac{12}{15}=\frac{4}{5}$，相对（不相邻）的概率为 $\frac{3}{15}=\frac{1}{5}$。
• 从正方体 6 个面中任取 3 个面，包含相对面的概率为 $\frac{12}{20}=\frac{3}{5}$，两两相邻的概率为 $\frac{8}{20}=\frac{2}{5}$。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 22.01 计数原理、排列与组合

类题演练 (Links)

• 1981-全国文-03 解-排列与组合的计数
• 2014-四川卷理-06 单-分类加法计数原理
• 2020-上海卷-09 填-组合数公式